高三数学复习专题 平面向量

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时间:2018-09-16

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1、高三数学复习专题平面向量一、考点透视本章考试内容及要求:平面向量的有关概念    B级平面向量的线性运算(即平面向量的加法与减法,实数与平面向量的积)  C级平面向量的数量积          C级  (老教材为D级)向量的坐标表示           C级向量运算的坐标表示         C级平行向量及垂直向量的坐标关系    C级向量的度量计算           C级注:B水平:对所学数学知识有理性的认识,能用自已的语言进行叙述和解释,并能据此进行判断;知道它们的由来及其与其他知识之间的联系;知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。

2、C水平:对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系,掌握其内容与形式的变化;有关技能已经形成,能用它们来解决简单的有关问题。二、复习要求1.理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念;2.掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式;3.掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式;4.能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角,并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。概括地说,即理解向量有关概念,掌握向量基本形式(3种)及基本运算(4种),关注

3、向量简单应用。三、复习建议向量是近代数学中的一个重要概念,它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广,在解析几何里应用更为直接,用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看,在历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量是高中数学的必修内容,也是研究其它数学问题的重要工具,利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系,计算角度和距离问题将变得简单易行,其特点兼有几何的直观性、表述的简洁

4、性和方法的一般性,因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考,除了以小题形式考查一些简单的概念之外,还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查,试题的难度一般在中、低档题水平,复习时应重视向量基本知识的掌握和运用,难度不要拔高。25四、知识要点1.平面向量的有关概念(1)平面向量:我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”,如不作特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段AB表示向量。以A为始点,B为终点的向量,记作,也可用加黑的小写字母a表示。向量的大小,也就是的模(或称长度),记作。(2)零向量:模为零的向量叫做

5、零向量,记作0,它的方向是不确定的。(3)单位向量:模等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。向量a的单位向量是指与向量a方向相同且长度等于1个单位长度的向量,记作,。(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。(5)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量a、b、c平行,记作a∥b∥c。规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。(6)负向量:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的负向量。2.向量的运算(1)向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。①加法法则aaa+bbba+b图6—1图6—2三角形法则(见图6—1)

6、;平行四边形法则(见图6—2)。②运算性质:a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a③坐标运算:baa-b图6—3设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)。(2)向量的减法求两个向量差的运算叫做向量的减法。①减法法则三角形法则(见图6—3)②坐标运算:a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1—x2,y1—y2)。设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),25则=(x1—x2,y1—y2)。(3)实数与向量的积①定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa

7、,它的长度与方向规定如下:当其中,λa与a同向,

8、λa

9、=

10、

11、

12、a

13、;当<0时,λa与a反向,

14、λa

15、=

16、

17、

18、a

19、;当λ=0时,λa=0。②运算律:a)=()a,()a=a+a,(a+b)=a+b。③坐标运算:设a=(x,y),则a=(x,y)=(x,y)。(4)平面向量的数量积①定义:a·b=

20、a

21、

22、b

23、coa,(a0,b0,。规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。①重要性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=

24、a

25、cosθ。(2)a⊥ba·b=0。(3)当a与b同向时,a·b=

26、

27、a

28、

29、b

30、;当a与b反向时,a·b=—

31、a

32、

33、b

34、。特别地,a·a=

35、a

36、2或

37、a

38、=。(4)(5)

39、a·b

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