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1、图6—3高三数学复习专题平面向量一、知识要点1.平面向量的有关概念（1）平而向量：我们把平而上既有大小乂有方向的量叫做平面向量（以下涉及的“向量"，如不作特别说明就指平面向量）。用带有箭头的线段AB表示向量。以A为始点，B为终点的向量，记作AB,也可用加黑的小写字母a表示。向量亦的大小，也就是乔的模（或称长度），记作
2、Xfi
3、o（2）零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0,它的方向是不确定的。（3）单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。向量a的单位向量是指与向量a方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作％,细=二a（4）相等向量：长度相等口方向
4、相同的向量叫做相等向量。（5）平行向量：方向和同或相反的非零向量叫做平行向量，若向罐a、b、c平行，记作a//b//co规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。（6）负向量：打向量a长度相等，方向相反的向屋，叫做a的负向量。2.向量的运算⑴向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。①加法法则三角形法则（见图6—1）；平行四边形法则（见图6—2）。②运算性质：a+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）a+0=0+a=a③坐标运算：设a=（xpyj,b=（X2,y2），WOa+b（2）向最的减法求两个向最差的运①减法法则三角形法则（见图6—3）②处标运
5、算：a=（X],yj,b=（X2，y?），贝0a-b=（X）一x2,yi一y?）。设A、B两点的坐标分别为（X1,Yl）,（x2,y2）,贝ijAB=(X]—X2，yi—y2)o(3)实数M向量的积①定义：一般地，实数兀与向量a的积是一个向量，记作加，它的长度与方向规定如下：当其中2>0,Xa与a同向,
6、X/i
7、=
8、A
9、
10、al；当QvO时,加与a反向，
11、X^
12、=
13、2
14、
15、al；当后0时，加=0。②运算律：2(“a)=(久〃)”，(2+“)a=2a+“a,A(a+b)=Aa+Abo③坐标运算：设a=(x,y),则2a=/l(x,y)=(2x,2y)o(4)平面向
16、量的数量积①定义：a*b=lallblcoa,(aHO,bHO,0°<^<180°)o规定：0零向量与任一向量的数量积为0,艮卩0*a=0o①重要性质设"，方都是非零向量，0是与方方向相同的单位向量，6是“与e的夹角，则(1)ea=ae=acosOo⑵a丄方Uab=Oo(3)当a与方同向时，(rb=a\b；当a与b反向时，ab=一特别地，(ra=a^fi£
17、a
18、=o/aA)(4)cosq=(5)0忖QI。①运算律a・b=b・a,(2a)b=ae(2b)=/l(a・b),(a+b)c=a*c+beco②坐标运算：设a=(xpyj,b=(X2,y2)
19、，则a*b=xix2+yiy2o1.重要定理、公式(1)两个非零向量a,b平行的充要条件a〃boa=/lbo设a=(xPy〕)，b=(X2，y2),贝0y2-=0o(2)两个向屋垂直的充要条件a丄boa*b=0设a二(xpyi),b=(X2，y?),贝ija丄boX]X2+y】y2=0。(1)平而上两点间的距离公式设表示向量。的有向线段的起点和终点的坐标分别为(xi，力)、(X2,y2)，那么吃了+^厂儿丫。二、例题解析【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？(1)若a=b,则ac-bc(2)若ab=cd且x=yt贝!J(ab)x=(cd)y；【分析】(1
20、)真命题。Va=i,.\a=bKa与〃同向,Aa,〃与c夹角相等,设夹角为0,则ac=aIIc
21、cos8=
22、〃
23、
24、c
25、cos0=bco(1)真命题。由ab=cdWR,可设ab=cd=kfVx=j,/.kx=ky<>【例2】有四个等式：(1)0a=O,(2)Oa=O,(3)6-AB=BA,(4)ab=a\bf其屮成立的个数为()A4个B3个C2个D1个【分析】(1)0&表示零向量与任意向量a的数量枳，其结果是数0而不是零向量；(2)Oa表示实数0与向量a的乘积，其结果应为零向量，而不是数0；(3)等式0~7b=BA成立；(4)对a力数屋积的
26、定义式两边収绝对值，得
27、丹Ha
28、0
29、
30、cosB
31、,只有洁0,71时，
32、a〃
33、=
34、a
35、0
36、才成立。・•・应选D。【点评】例1、例2考查向量的加法、减法、实数与向量的乘积及数量积这四种运算及有关概念。[【例3】已知
37、a
38、=4,
39、i
40、=5,(1)当a//b,(2)alb,(3)a与b的夹角0=120°,求如【分析】直接利用向量数量积的定义解题。【解】(1)当a//b时，若a与〃同向，则8=0°,从而aA=
41、a
42、
43、A
44、cos0°=4x5=20；若a与方反向，则0=180°,从而a-ft=
45、a
46、
47、A
48、cosl80°=4x5x(-1)=-20；(2)当a丄方时，0=90
49、°,a-b=a\b
50、cos90t,=0；)=-1
