高三数学复习专题 平面向量

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1、高三数学复习专题平面向量一、考点透视本章考试内容及要求：平面向量的有关概念　　　　B级平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）　　C级平面向量的数量积　　　　　　　　　　C级　　（老教材为D级）向量的坐标表示　　　　　　　　　　　C级向量运算的坐标表示　　　　　　　　　C级平行向量及垂直向量的坐标关系　　　　C级向量的度量计算　　　　　　　　　　　C级注：B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行

2、独立的尝试性操作。C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。二、复习要求1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念；2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本

3、形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。三、复习建议向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离

4、问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。25四、知识要点1．平面向量的有关概念（1）平面向量：我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”，如不作特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段AB表示向量。以A为始点，B为终点的向量，记作，也可用加黑的小写字母a表示。

5、向量的大小，也就是的模(或称长度)，记作。（2）零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是不确定的。（3）单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。向量a的单位向量是指与向量a方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作，。（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。（6）负向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的负向量。2．向量的运算(1)向量的加法求两个向量和的

6、运算叫做向量的加法。①加法法则aaa+bbba+b图6—1图6—2三角形法则(见图6—1)；平行四边形法则(见图6—2)。②运算性质：a+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）a+0=0+a=a③坐标运算：baa-b图6—3设a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则a+b=（x1+x2，y1+y2）。（2）向量的减法求两个向量差的运算叫做向量的减法。①减法法则三角形法则(见图6—3)②坐标运算：a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则a-b=（x1—x2，y1—y2）。设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2)，2

7、5则=（x1—x2，y1—y2）。（3）实数与向量的积①定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：当其中，λa与a同向，

8、λa

9、=

10、

11、

12、a

13、；当<0时，λa与a反向，

14、λa

15、=

16、

17、

18、a

19、；当λ=0时，λa=0。②运算律：a）=（）a，（）a=a+a，（a+b）=a+b。③坐标运算：设a=（x，y），则a=（x，y）=（x，y）。(4)平面向量的数量积①定义：a·b=

20、a

21、

22、b

23、coa，（a0，b0，。规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0。①重要性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同

24、的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a=a·e=

25、a

26、cosθ。(2)a⊥ba·b=0。(3)当a与b同向时，a·b=

27、a

28、

29、b

30、；当a与b反向时，a·b=—

31、a

32、

33、b

34、。特别地，a·a=

35、a

36、2或

37、a

38、=。(4)(5)

39、a·b