1.3.1《函数的单调性与导数》教案

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1、1.3.1《函数的单调性与导数》教案一、教学目的：[来#源:中*@教&网%]1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；[来源:学科网]2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断函数单调性.三、教学难点：利用导数判断函数单调性.四、教学过程【复习引入】[来源~:中*^教网&%]1.常见函数的导数公式：；；；；；；[来源:学科网ZXXK]2.法则1　．法则2,法则3[来源:学

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6、K]【讲解新课】函数单调性：函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时:1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；[www.zz#%&step*

7、@.com]2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】[来源@%:中^教#*网]1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像[来&源:z^zs%@te*p.com]可以看到：y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着

8、x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（－∞，2）内为减函数.[来源:中~国教育^*出版&网@]定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数[中国教^#育出~&版%网]【构建数学】[来@#源^:%中教*网]一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

9、个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.【数学应用】例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.[来@源#:^%中*教网]令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12

10、x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.[来&*~源:中教%网#]当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.[来源:z&zste*p~#.^com]令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+

11、∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，[来源:中&%国*教育#出版网@]∴x2＞0，∴－＜0.∴，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.[来@源%:中*^~教网]点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0.解得x＞1或x＜－1.[中@~国教育出#&版*网]∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.[来源%:中~*&教^网]∴y

12、=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)[来源@*~^:中教网&]四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3[来%#源:@中教&^网](1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)[中~国@%*教^育出版