资源描述：
《10-高等数学第十讲 函数项级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十讲函数列与函数项级数一、知识结构1、函数列收敛性（1）函数列收敛的概念和定义定义1设是定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列，记作或，.定义2设,以代入函数列的数列.如果数列收敛,我们称函数列在点收敛,点为函数列的收敛点.如果数列发散,称函数列在发散,点为函数列的发散点.如果在数集上的每一点函数列都收敛,则我们称函数列在上收敛.记作,,称为函数列在上极限函数,或称为函数列在上收敛与.定义3(函数列在上收敛于的定义)对每一个固定的,对,存在正整数,当时,有,我们称函数列在上收敛与，记作,或（）,.说明①对每一
2、个固定的，都存在一个正整数，由于中一般有无限个，所以就对应于无限个正整数，这无限个正整数中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中的大小一般既与的大小有关,又与上所选取的大小有关.（2）函数列收敛的判定方法数列收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列在上的柯西收敛准则.定理1(函数列在上收敛的柯西准则)函数列在345上收敛的充要条件是:对每一个固定的,对,存在正整数,当时,有.定理2(函数列在上收敛的归结原则),对每一个固定的,当时,有.2、函数列的一致收敛性（1）函数列一致收敛性的概念和定义如果
3、上述定义3中的大小仅与的大小有关,与上所选取的大小无关,则我们就得到函数列在上一致收敛于.定义4(函数列在上一致收敛于的定义)对,,正整数,当时,有,我们称函数列在上收敛与,记作,.（2）函数列一致收敛性的判别法定理3(函数列在上一致收敛的柯西准则)函数列在上一致收敛的充要条件是:对,对,存在正整数,当时,有.定理4函数列在上一致收敛的充要条件是:.推论设在数集上.若存在数列,使,则函数列在数集上非一致收敛.3、函数项级数及其一致收敛性(1)函数项级数及其和函数定义5设是定义在数集上函数列，表达式，称为定义在上的函数
4、项级数.345若,数列收敛,即极限存在,则称函数项级数()在点收敛,点称为函数项级数()的收敛点.若,数列发散,则称函数项级数()在点发散,点称为函数项级数()的发散点.函数项级数()收敛点的全体组成数集称为函数项级数()收敛域.表达式()中的称为函数项级数()的和函数,或称函数项级数在上收敛于.定义6(函数项级数在上收敛于的的定义)令,对每一个固定的,对,存在正整数,当时,有,我们称函数项级数在上收敛于，记作,或（）,或（）,.说明①对每一个固定的，都存在一个正整数，由于中一般有无限个，所以就对应于无限个正整数，这
5、无限个正整数中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中的大小一般既与的大小有关,又与上所选取的大小有关.345(2)函数项级数的一致收敛性如果上述定义6中的大小仅与的大小有关,与上所选取的大小无关,则我们就得到函数项级数在上一致收敛于.定义7(函数项级数在上一致收敛于的的定义)令,对,,正整数,当时,有,我们称函数项级数在上一致收敛于,记作,或,.(3)函数项级数的一致收敛性判别法定理5(Cauchy准则)级数在区间D上一致收敛,,D或.推论级数在区间D上一致收敛.定理6级数在区间D上一致收敛于.定理7(Weie
6、rstrass判别法，M-判别法)设级数定义在区间D上,是收敛的正项级数.当充分大时,对D有
7、,则在D上一致收敛.证明然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法.称满足该定理条件的正项级数是级数345的一个优级数.于是定理7可以叙述为:若级数在区间上存在优级数,则级数在区间上一致收敛.应用时,常可试取.但应注意,级数在区间上不存在优级数级数在区间上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.定理8（Abel判别法）设（ⅰ）级数在区间上收敛;（ⅱ）对每个,数列单调;（ⅲ）函数列
8、在上一致有界,即,使对和,有.则级数在区间上一致收敛.定理9（Dirichlet判别法）设（ⅰ）级数的部分和函数列在区间上一致有界;（ⅱ）对于每一个,数列单调;（ⅲ）在区间上函数列一致收敛于零.则级数在区间上一致收敛.(4)一致收敛函数列极限函数的解析性质定理1（连续性）设在上,且对,函数在上连续在上连续.证明要证:对,在点连续.即证:对,,当
9、时..估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项可以任意小;而由函数在点连续,第二项也可以任意小.所以,对,,当
10、时,有345推论设在上.若在上间断，则函数列{}在上一致收敛
11、和所有在上连续不能同时成立.注定理1表明:对于各项都连续且一致收敛的函数列{},有，即极限次序可换.定理2（可积性）若在区间上函数列{}一致收敛,且每个在上连续.则有.证明设在上,由Th1,函数在区间上连续,因此可积.我们要证.注意到,可见只要在上成立.注:定理的条件可减弱为:用条件“在上(R)可积”代替条件“在上连续”.证明可参阅江泽坚著《数
