浅谈构造函数,妙解数学难题

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1、2013年全市普通高中开放周论文封面论文题目：浅谈构造函数，妙解数学难题单位（全称）：龙岩四中作者姓名：林建华联系电话：159608966187论文摘要:一、构造一次函数，巧证不等式二、构造单调函数，巧证不等式三、依题构造函数，巧用函数思想解题四、构造二次函数，利用图象巧解题五、构造三角函数，巧证不等式六、构造相应的函数，巧解难题七、构造“准”反函数的形式，巧求最值八、构造相应函数，巧用二项式性质解题九．构造函数解恒成立问题浅谈构造函数，妙解数学难题有些数学较难的题目，若从大家熟悉常用的方法去直接探求，常常感到繁难，甚至一筹莫展，思路堵塞。不妨转换思维角度

2、，从题目的实际出发，巧妙构造与之相关的函数模型，顿觉抑暗花明又一村，常常得到简捷清晰的解法，让人有耳目一新的感觉，以下简单介绍一下如何构造函数妙解数学难题。一、构造一次函数，巧证不等式例：已知证明：构造一次函数二、构造单调函数，巧证不等式例：已知求证：证：构造函数，易证当.7构造方程法，巧得解析式通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新的方程的方法求出的解析式。例：设满足求函数的解析式。解：用………………①中的得即………………②联立①②消去得：三、依题构造函数，巧用函数思想解题例：已知a、b、c是实数，函数（1）证明：（2）证明：当（1）证明：又（2）证明：

3、是一次函数，是二次函数，用表示可设将右边化简，多解调式得.是实数②式成立的条件是7四、构造二次函数，利用图象巧解题例：若恒成立，求实数m的取值范围.分析：此题是三角背景下的一道函数题，不等式的左边可化为的二次函数，转化为求函数在上大于0恒成立的问题，固对称轴x=m含有参数，故分类为对称轴在左边，右边函数三种情况讨论，注意分类时不要遗漏区间的端点。解：依题意得：即设再设，即化为，在上恒成立，求实数的取值范围在上恒成立（1）即得（2）即（3）即即得综合（1）（2）（3）得，五、构造三角函数，巧证不等式构造三解函数模型引出三解代换，巧证不等式.已知：试证：（1）

4、（2）（3）证明：令，则有（1）7（2）==（3）=六、构造相应的函数，巧解难题在高中数学有些题，若直接利用一般不等式方法证明则较困难，若采用构造相应的函数，然后再利用求导的方法，利用函数的单调性来加以证明则要简便多了。例：当时，求证：分析：可设函数为，因为在内可导，从而通过考察的单调性来证明不等式.证明：设则而在内单调递增.又时即.七、构造“准”反函数的形式，巧求最值例：求函数的最值.解：将已知函烽化为其中7又当时，函数取得最小值0.当时，函数取得最大值.八、构造相应函数，巧用二项式性质解题例：证明：当分析：由次数是n联想到及其展开式恰与不等式左、右两边

5、结构相似，再进行放缩事论证，必须对二项式系数性质应达到一定的熟练程度。要把及诸联系起来，做到见其一能想其三.证明：设即当当九．构造函数解恒成立问题在解决恒成立问题时，我们经常会遇到两类题型：一是已知x的取值范围求参数a的范围；二是已知参数a的范围求x的范围，它们都可以用构造函数的方法来解决。例1已知不等式x2+ax+3-a≥0，当x∈[-2,2]时恒成立，求a的取值范围。方法一：整体构造法分析一：本题可构造关于x的二次函数f(x)=x2+ax+3-a.若想使f(x)≥0在x∈[-2,2]上恒成立，只要使y=f(x)在x∈[-2,2]上最小值g(a)≥0即可

6、。解法一：设f(x)的最小值为g(a)，则（i）当又a>4，故此时a不存在。7(ii)当，即-6≤a≤2。又-4≤a≤4，故-4≤a≤2。方法二：分离构造法分析二：将参量a与x分离到不等号的两侧进行救解。解法二：例2求x的取值范围。分析：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，但实际是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2,2]，求参数x的范围。构造一次函所以f(m)的图象表示一条线段，且这条线段全都在横轴的下方，因此这样避免了分类讨论，使问题更易解决。解：原不等式可化为（x2-1）m-(2x-1)<0.77