浅谈构造函数,妙解数学难题

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1、2013年全市普通高中开放周论文圭寸面论文题目：浅谈构造函数，妙解数学难题单位（全称）:龙岩四中作者姓名：林建华论文摘要:一、构造一次函数，巧证不等式二、构造单调函数，巧证不等式三、依题构造函数，巧用函数思想解题四、构造二次函数，利用图象巧解题五、构造三角函数，巧证不等式六、构造相应的函数，巧解难题七、构造“准”反函数的形式，巧求最值八、构造相应函数，巧用二项式性质解题九•构造函数解恒成立问题浅谈构造函数，妙解数学难题有些数学较难的题冃，若从人家熟悉常用的方法去直接探求，常常感到繁难，甚至一筹莫展，思路堵塞。不妨转换思维角度，从题日的实际岀发，巧妙构造与之相关

2、的函数模型，顿觉抑暗花明乂一村，常常得到简捷清晰的解法，让人有耳日一新的感觉，以下简单介绍一下如何构造函数妙解数学难题。一、构造一次函数，巧证不等式例：已知av1,问v1,cv1,求证:abc+2〉a+b+c证明:构造一次函数/(x)=(方c-l)x+2-方-c.这里<1,

3、/?

4、

5、x

6、<1,则be<1.v/(-I)=l-bc+2-b-c=(1-be)+(1-/?)+(1-c)>0f(l)=bc-l+2-b-c=(l-h)-(l-c)>0v-l

7、/?

8、<1,c<1时

9、"，有(be-1)q+2—b-c〉0,即+2>a+b+c.二、构造单调函数，巧证不等式例：已知a>0,h>0,求证:ab+1+q1+bffi：构造函数/（兀）二亠1+x易证心丘当x〉0时，单调递增.•••a+b+ab〉a+b〉0f(a+b+ab)>f(a+b)abci+b+2aba+b+ab“1八八故+=>=f(a+b+ab)>f(a+b)1-t-a1+b(l+d)(l+b)l+d+b+Qb'a+b+a+b构造方程法，巧得解析式通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新的方程的方法求出门力的解析式。例：设/(X)满足2/(x)-3/(-)=x2:.ax+b=(a

10、t2+bt2+c)—{atx+btx+c)将右边化简，多解调式得.=©［曲2+4)+〃］•••a、b是实数+1求函数/(X)的解析式。解：用丄+换2/(x)-3/(-)=x2+1①屮的兀得2-L/(1)-3/(x)=4+1XXJC即2/(-)-3/(x)=丄+兀②13??3联立①②消去/(?)得：/(x)=----x-j--—三、依题构造函数，巧用函数思想解题……例：己知a、b>c是实数，函数/(x)=ax2+hx+cg(x)二°兀+方.当・1

11、g(x)1<2(1)证明：・・・xw[—

12、l・l]时1/(0151乂Ow[—1.1]/.IcH/(O)1<1②式成立的条件是G~fi=1t2+tA-Xx+12—〒x-11—〒(2)证明：・.・gO)是一次函数，/(X)是二次函数，用/(兀)表示g(x)•••XG[~1•1]r-f-1・•」/(^-)l<1Y—1)-/(〒)22Y—11/(〒“1Alg⑴曰/(字)一/(号)I§I/(¥)I+I兀号)I§2四、构造二次函数，利用图象巧解题例：若COS2&+2加sin0—2加—2V0H寸恒成立，求实数m的取值范围.分析：此题是三角背景下的一道函数题，不等式的左边可化为sin&的二次函数，转化为求函数/(兀)

13、在［-1.1］上大于0恒成立的问题，固对称轴xw含有参数，故分类为对称轴在［-1.1］左边，右边函数三种情况讨论，注意分类时不要遗漏区间的端点。解：依题意得：l-sin?0+2/nsin0-2/n-2v0即sin?&—2msin0+2加+1〉0设x=sin&・即X，—2nix+2m+1>0/(x)=x2-2mx+2m+1,即化为/(兀)〉。，在xel-l.lj上恒成立，求实数的取值范围•・•/(%)>0在xw[-1.1]上恒成立(1)/(-1)>0m<-11+2m+2m+1m<一I>01m>—2m<-1(2)1-2m+2m+1>0m>1(3)0<0-1<7/7

14、<1m2-2/h-1<0-11即j1—a/2<772<1+a/2[-1-41五、构造三角函数，巧证不等式构造三解函数模型引出三解代换，巧证不等式.已矢ha2+b2=1(3)2ab+a2-b2<41试证：(1)cr-b2I<1(2)3a2b-b3

15、<1即4于<1+y2严■/?-/?3I=l3cos2^-sin^-sin2^l=13sin^(1-sin20)-sin3&I=

16、13sin^-4sin30=lsin3