集合论部分(板书)

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1、第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算第一节集合的基本概念1-1-1集合1.定义:集合，元素及成员：可以把集合的内涵概括成一点作为定义，即至少具有一个共同性质的一些事物构成的的集体，叫集合。把这些事物叫做该集合的元素与成员。例如：自然数集合N；整数集合Z;有理数集合Q;实数集合R;虚数集合C;26个英文字母集合E；等等。2.集合的表示方法（1）列元素法。将集合所有元素列于一个花括号内。这里，元素可以是集合。例如：集合A={1，2，3，5，9}；集合B={1，3，2，1，8，4,{1，2}，{3}，4，5}。（2）谓词表示法。如同汉语中的谓语描述主语的性

2、质一样，集合论中用谓语概括集合中元素的性质。例如：用R表示实数集合，则集合B={x│x∈R且x2–4=0}；所以，集合B又可以如下表示成列元法，即B={-2，2}。类似，也可以通过Z中的整数k表示奇数集合。如此等等。于是我们说，集合的两种表达形式可以相互变换。3.从上述例子看出集合的构造特点：（1）集合必须用花括号将其元素括起来（空集合除外，因为空集内没有元素）；（2）集合的元素之间用逗号分开；（3）元素在集合中可以重复出现，相同者只一个有效；（4）集合元素在集合内的位置无序；（5）集合的元素可以是集合。要点A)*****元素与集合的关系*****集合元

3、素与集合之间的关系是属于或不属于。例1:1属于自然数N，记做1∈N；而-1不属于N，记做–1不∈N。例2:A={1,3,{2},4,},则2∈A?,{2}∈A?1-1-2子集和幂集1.以下给出关于子集合的诸定义（1）子集：设A、B为集合，如果集合A的每个元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集合，简称子集。（2）集合相等：设A、B为集合，如果集合A的每个元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集合。同时，如果集合B的每个元素都是集合A中的元素，则称B为A的子集合，则称集合A与集合B相等。（3）真子集：设A、B为集合，如果集合A的每个元素都是集合B中的元素，

4、且集合B中的元素至少有一个不在集合A内，则称A为B的真子集。（4）n元集合的m元子集：若集合A含有n个元素，则称其为n元集合。他的每个子集含有m个元素，称为他的m元子集，这里，m=0，1，2，……，n。一个n元集合共有2n个子集。于是，有下面的幂集定义:（5）幂集：设A为集合，将A的所有子集构成的集合叫A的幂集，记做P（A）。例1-1A={1，2，3}为一个三元集合，他可以有如下几种子集合0元子集，即空集合：Ø；1元子集：{1}，{2}，{3}；2元子集：{1，2}，{1，3}，{2，3}；3元子集：{1，2，3}。例1-2幂集计算（a）A=Ø，则P（A

5、）={Ø}；（b）B={Ø}，则P（B）={Ø，{Ø}}；(c)C={1,2,3},则P(C)={所有子集}.（6）空集：不含任何元素的集合叫空集，记做Ø。也即某集合的0元子集，已如上两例。再如：集合B={x│x∈R且x2+1=0}。因为方程x2+1=0的解为-1的两个平方根，所以无实数解，即集合B为空集，即B=Ø。按我们上述定义，空集是0元集合，是任何集合的0元子集。所以说，空集是一切集合的子集。要点B)*****集合与集合之间的关系*****1）集合与集合间的包含关系。若集合A是集合B的子集，这时称A与B的关系为AB或BA，记做AB页：2页：2。按定

6、义，显然有AA和BB等。2）若集合A是集合B的真子集，记做AB。显然有NZ，ZQ，QR，RC。3）某集合作为另一集合的元素，则集合与集合也具有隶属关系。设:A={{a}，b，c}，则有{a}∈A这种隶属关系，虽然{a}是集合。又,集合A的幂集P（A）中的每个元素都隶属于P（A），而每个元素又都是集合。4）全集。一个具体问题的研究中，所涉及的集合都是某集合的子集，则称该集合为全集，记做E或U。例如，北大应用文理学院计算机系二年级学生都修离散数学课。这里，我们用A，B，C分别表示计算机系学生，学院二年级学生，修离散数学学生集合，则全集E自然应是应用文理学院。

7、显然，全集具有相对性。就是说，不同的问题有不同的全集。空集定理：空集是唯一的。采用反证法：假设存在两个空集Ø1和Ø2，因为空集是任何集合的子集，必有Ø1Ø2和Ø2Ø1；又根据集合相等的定义有Ø1=Ø2。第二节集合的基本运算设A，B，C为任意集合，在两集合之间可以有并、交、(相对,绝对)补、(对称)差运算.1-2-1集合的五种基本运算定义1.并集：A∪B={x│x∈A或x∈B}。例1-4集合的并运算（1）A={1，2，3}，B={4，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}；2.交集：A∩B={x│x∈A且x∈B}。两集合的交运算产生的集合中的元素，同

8、时属于两者，所以只能取相交部分。例1-5集合的交运算（1）A={1，2，3}，B