《二部分集合论》ppt课件

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1、第二部分集合论集合论是研究集合一般性质的数学分支，创始人是康托尔(G.Cantor1845-1918)。现代数学中，每个对象(数，函数等)本质上都是集合，即可以用某种集合来示义，数学的各个分支本质上都是在研究某一种对象集合的性质，集合论的特点是研究对象的广泛性，是计算机科学的基础理论表达工具。第三章集合代数3.1集合的基本概念1.集合的定义集合是现代数学中最重要的基本概念之一。我们知道，在任何一个数学理论中，不可能对其中的每个概念都严格定义，这样的概念一般为数学理论中的原始概念，而称其余的概念为它的派生概念。如欧几里得几何学中，“点”和“线”是原始概念，而“三角形”和“圆”则为

2、派生概念。今天我们介绍的“集合”也是一个不能严格定义的原始概念。但是为了理解上的方便，我们仍然给一个不严格的定义。3.1集合的基本概念定义3.1：任何被称为“成员”或“元素”的对象的聚集称为集合(Set)。例如：自然数的全体N，有理数的全体Q，实数的全体R，复数的全体C，整数的全体Z，都是集合。通常情况下，用带(或不带)下标的大写英文字母表示集合，而用带(或不带)下标的小写英文字母表示集合的元素或成员。3.1集合的基本概念2.集合的表示集合是由它所包含的元素完全确定的，有多种方法来表示一个集合。(1).枚举法：当一个集合仅有有限个元素或元素之间有明显的关系时，采用列出集合中全部

3、元素或部分元素的方法，叫枚举法。例：A={1,2,3,4}，B={a,b,c,…x,y,z}，N={0,1,2,3,…}。这种方法实际上是一种显示表示法，优点是具有透明性，缺点是当集合中元素比较多时会占据大量内存。3.1集合的基本概念(2).描述法：一般用谓词来概括集合中元素的特性，由谓词P(x)所定义的集合常记为：A={x

4、P(x)}。例：B={x

5、x∈R∧x2-1=0}。谓词表示法是一种隐式表示法，所表示的集合元素可以是很少的或无穷多个，从计算机的角度来看，是种“动态”的表示法，不用占据大量内存。(3).文氏图法(Venn)：文氏图解法是一种利用平面上的点的集合作成的对集合

6、的图解，一般用平面上的圆形或方形表示一个集合。3.1集合的基本概念3.集合与元素的关系元素和集合之间的关系是“隶属关系”，即“属于”或“不属于”，“属于”记作∈，不属于记作。例：A={a，{b，c}，{{d}}}，a∈A，{b，c}∈A，bA。例3-1：在一个很偏僻的孤岛上，住着一些人家，岛上只有一个理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己不刮脸的人刮脸。那么该给这位理发师刮脸？3.1集合的基本概念在离散数学中，我们仅讨论界限清楚无二义性的元素与集合的隶属关系，即元素a要么属于集合A，要么不属于集合A，两者必居其一。4.集合的特性(1).确定性：即a∈A或aA，两者必居其

7、一且仅居其一；(2).互异性：集合中相同的元素被视为同一元素，即：{1，1，2，2}与{1，2}相同；(3).无序性：集合中的元素顺序并不重要，如{1，2，3，4}与{2，3，4，1}相同。3.1集合的基本概念5.集合之间的关系定义3.2：设A，B是两个集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集(Subset)，这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA，或AB，称“”或“”为包含关系(InclusionRelation)。如果B不被A包含，则记作BA。例：NZQRC,但ZN;A={1，2，3，4}，B={1，2}，C={2，3}，D

8、={2，3}，则B,C,DA;CD;DC;BC,D;C,DB;AB,C,D对任意的集合A，都有AA。3.1集合的基本概念定义3.3：设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作A=B，如果A与B不相等，则记作A≠B。相等的符号化表示为：A=BABBA例：A={x

9、x∈N，且x≤4}，B={0，1，2，3，4}则A=B。定义3.4：设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集(ProperSubset)，记作BA，称“”为真包含关系(ProperlyInclusionRelation)，如果B不是A的真子集，则记作BA3.1集合的

10、基本概念这时或者，或者B=A，符号化表示为：例：，但，{0,1}，{2,3}是{0,1,2,3}的真子集，但{1,4}不是。定义3.5：不含任何元素的集合叫做空集(EmptySet)，记作○。空集符号化表示为：○={x

11、x≠x}。例：设，是方程的实数解集，而该方程无实数解，所以A=○。3.1集合的基本概念定理3.1：(1)：空集是一切集合的子集，(2)：空集是唯一的。例3-2：确定下列命题的真值：(1)：，(2)：，(3)：{}，(4)：{}。3.1集合的基本概念定义