控制中的矩阵理论习题2012

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1、练习一：1．设A、是Hermite矩阵，证明：AB是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA。2．设，若，则A为反Hermite矩阵。试证明：任意一个都可以唯一地表示为一个Hermitet矩阵与一个反Hermite矩阵的和。3．证明反Hermite矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。4．设是Hermite矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的实数；又设是反Hermite矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符

2、号的虚部之纯虚数。5．试求一酉矩阵P，使为对角矩阵，这里（1）A=；（2）A=。6.设是Hermite矩阵。证明A是Hernite正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite正定矩阵B，使得。7．设是Hermite矩阵,则下列条件等价：（1）A是Hernite半正定矩阵；（2）A的特征值全为非负实数；（3）存在矩阵，使得。练习二：1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith标准形：（1）；（2）；（3）；（4）。1．求下多项式矩阵的不变因子：（1）；（2）；（3）。2．证明：对任何多项式矩阵，恒有

3、其中、、表示多项式矩阵的行列式因子。3．设，证明：∽。4．说明下列三个矩阵不能相似。；；。5．设，试计算。6．试证明：任何可逆矩阵A的逆矩阵都可表示为A的多项式。7．设，证明：可逆，并将其逆矩阵表示为A的多项式。8．求下列矩阵的有理标准型：；。1．求下列矩阵的Jordan标准型：；；；。2．设，求A的Jordan标准型J，并求相似变换矩阵T，使。3．设，利用A的Jordan标准型J，求。4．求下列矩阵的最小多项式：；。5．证明：幂等矩阵A（即A=）与对角矩阵相似，且A∽，其中rank(A)=r。

4、6．若，满足，问：A能否与对角矩阵相似？并证明你的结论。7．设满足（m为正整数），证明：A与对角矩阵相似。8．设，试证明：A与对角矩阵相似的充分必要条件是存在一个无重零点的多项式，使。练习三1．设是上的一个方阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明：对任何，是上的一个方阵范数。1．设是上的一个方阵范数，B、C都是n阶可逆矩阵，且及都是小于或等于1。证明：对任何，定义了上的一个方阵范数。2．证明：。3．对任何算子范数，证明：（1），E为n阶单位矩阵；（2）若A可逆，则。4．证明：。5．设，是A的特征值。当A

5、可逆时，证明。6．证明下列命题：（1）若矩阵序列，则，；（2）若方阵函数收敛，则。7．已知方阵序列且及都存在，证明：（1）；（2）；（3）。8．说明关系式一般不成立。问：该式在何条件下能成立？9．设函数矩阵。求；；；。10．设，A为n阶实对称常数矩阵，而。试证明：（1）；（2）。11．设函数矩阵，求；。1．设函数矩阵，求，。2．证明：（1）若A是反Hermite矩阵。则是酉矩阵；（2）若A是Hermite矩阵。则是酉矩阵。3．证明：对于任何方阵A都有（1）；（2）；（3）；（4）。4．试证公式。

6、5．设，利用上题结果，求。6．对下列方阵A，求：（1）；（2）；（3）。7．求线性常系数齐次微分方程组，满足初始条件，，的解。。习题四1．应用盖尔圆定理证明至少有两个实特征值。1．证明：相似于对角矩阵，且特征值都是非零实数。2．设，满足，试证明：矩阵A是非奇异的，而且，其中。（提示：注意到，令，作矩阵，求与的关系。说明B的特征值的模大于或等于1，从而有，最后推出。）3．用圆盘定理估计矩阵的特征值的分布范围，并在复平面上作出示意图。4．应用盖尔圆定理隔离矩阵的特征值。5．应用盖尔圆定理隔离矩阵的特

7、征值，并根据实矩阵特征值的性质改进所得结果。6．证明：的谱半径。1．证明：的谱半径。