合工大2012矩阵理论试卷.doc

《合工大2012矩阵理论试卷.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.设线性空间V为由基函数生成的实数域上的线性空间，令（1）分别求向量在基函数下的坐标；（2）证明：也为V的一组基；（3）求到的过渡矩阵。2.设线性空间中的矩阵，定义中的一个变换T为。（1）证明：T是线性变换；（2）求T在基，，，下的矩阵；（3）求的一组基，使T在这组基下的矩阵为对角阵。3.设是中的一组标准正交基，，其中，，，求的一组标准正交基。4.设T为欧氏空间中的线性变换，对，令（1）求线性变换T在基下的矩阵；（2）证明：T为正交变换。5.设（1）设，求；（2）求参数a，b，使。6.设（1）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（2）求A的

2、约当标准形；（3）求。7.设，试讨论幂级数的敛散性。8.设是上相容的矩阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明对任意，是上相容的矩阵范数。矩阵理论试卷（A）（2008级）(共1页)成绩学院班级＿＿＿;　　姓名＿＿＿＿＿；　　　　学号＿＿＿＿＿1（15分）给定（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集（1）证明是的子空间；（2）求的维数和一组基；（3）求在所求基下的坐标。2（15分）设为n维欧氏空间中的单位向量，对中任意一向量,定义线性变换,（1）证明：为正交变换；（2）证明对应特征值1有n-1个线性无关的特征向量；（3）问能否在某组

3、基下的矩阵为对角阵，说明理由。3（15分）设矩阵（1）求的若当标准形；（2）求的最小多项式；（3）计算。4（10分）设中的线性变换如下：(1)写出在基下的矩阵；(2)求及。5（10分）已知多项式矩阵，求的初等因子及史密斯标准形。6（10分）在欧氏空间中，对任意两个向量定义内积求齐次方程组的解空间的一组标准正交基。7（10分）(1)设为可逆矩阵,证明对任何矩阵的算子范数,都有。（2）设,利用(1)的结论分别估计和的下界。8（15分）已知,求矩阵函数。1.给定线性空间的两组基：试求从基到基的过渡矩阵。2.设线性空间（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加

4、法与数乘构成的线性空间）的子集（1）给定V的变换，验证T是V上的线性变换；（2）求V的一组基及T在该基下的矩阵；（3）求T的全体特征值和特征向量。3.设V为n维欧氏空间，为V中一个固定的非零向量，证明：（1）是V的一个子空间；（2）的维数为。4.在中定义内积，（1）求对基正交单位化所得的一组标准正交基；（2）求在上述标准正交基下的坐标。5.设（1）证明：在任意的数域F上，A都不可能相似于一个对角阵；（2）设，计算。6.设，为满足相容性条件的矩阵范数，为从属于某向量范数的算子范数，E为n阶单位矩阵。求证：（1）；（2）。7.设，，求：（1）矩阵A

5、的算子范数和的值；（2）在S上的最大值。8.已知，（1）求A的约当标准形J及相似变换矩阵P使得；（2）求矩阵函数。