流体力学基本方程组总结

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1、2008-10-18~2008-10-1918流体力学基本方程组总结流体力学基本方程组包括连续性方程、运动方程、组分质量守恒方程、能量方程、本构方程、状态方程及通用形式守恒方程。虽各相关文献都有介绍这些基本方程组，但多采用作者熟悉的方式表示，往往同一方程具有多种形式，而难于直观对比。以下内容是对文献报道的各种形式的总结和对比，并分析了它们之间的转化关系，以期彻底理解（切实掌握微分方程中每一项的物理意义）流体力学基本方程组的数学物理意义，为离散计算该方程组打下基础。1连续性方程根据文献[1]连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉

2、法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。1.1L法有限体积分析取体积为，质量为的一定流体质点团，则有：（1）因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：（2）（3）代入式（1）得（4）运用奥高定理（5）得（6）上式即是连续性方程的积分形式。2008-10-18~2008-10-1918假定被积函数连续，而且体积是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：（7）或（8）在直角坐标系中连续性方程为：（9）或（10）连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积[2]。1.1L法体积元分析考虑质量为的体积元，对其

3、用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：（11）（12）两边同除以，得（13）或写成（14）上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。1.3E法有限体积分析着眼坐标空间，取空间中以面为界的有限体积，则称面为控制面，为控制体。取外法线方向为法线的正方向，为外法线方向的单位矢量。考虑该体积内流体质量的变化，该变化主要以下两方面原因引起。第一，通过表面有流体流出或流入，单位时间内流出流入变化的总和为：2008-10-18~2008-10-1918（15）第二，由于密度场的不定常性（注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画），单位时间内体

4、积的质量将变化，变化量为：（16）上述两者应相等，即（17）由于体积是任意的，且被积函数连续，则（18）1.4E法直角坐标系分析单位时间内通过表面EFGH的通量为：通过表面ABCD的通量为：其他三对表面类似，另外，该控制体内质量的变化率为：则（19）特殊情况下的连续性方程：（1）定常态：（2）不可压缩流体：2动量方程任取一体积为的流体，它的边界为。根据动量定理，体积中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和面力（应力）之和。单位面积上的面力，其中是二阶对称应力张量，所以不是通常指的在2008-10-18~2008-10-1918（单位体积面元的法线方向）方向的分量。单位质

5、量上的质量力为。则作用在该体积上的质量力和面力分别为（20）及（21）动量变化率为（22）上述动量变化率的表达式可有两种处理方法[1]，如下（1）求解上式右边第二项内对体积元的随体导数，则（23）（2）对动量变化率表达式右边第二项应用质量守恒定律（24）由上可得两种积分形式的动量方程，即（25）或（26）由上，动量方程的微分形式为：（27）2008-10-18~2008-10-1918或（28）微分方程中各项的物理意义为，表示单位体积上惯性力，为单位体积上的质量力，为单位体积上应力张量的散度，它是与面力等效的体力分布函数（由奥高公式转化而来）。在直角坐标系下以应力表示的运动方

6、程可采取下列形式（29）或（30）这两种表达方式的等号左边实际只差了一个连续性方程，由基本微分公式（31）得（32）由连续性方程知（33）所以有（34）上述运动方程是以应力表示的粘性流体的运动方程，它们对任何粘性流体，任何运动状态都是适用的。但它没有反映出不同属性的流体受力后的不同表现。另外，2008-10-18~2008-10-1918方程数和未知量之数不等，运动方程有三个，加上连续性方程共四个，但未知量却有九个（六个应力张量分量（九个张量分量因对称关系减少为六个）和三个速度分量），所以该方程组不封闭。为使该方程组可解，必须考虑应力张量和变形速度张量之间的关系（将应力张量用

7、速度分量表示出来），补足所需的方程[2]。3本构方程本构方程是表征流体宏观性质的一种微分方程，它是表达流体粘性定律的应力张量和变形速度张量之间的关系。最简单的应力与应变之间的关系是牛顿流体作一维运动，即牛顿剪切定律：（35）要得到普遍意义上的广义牛顿定律需作一定假设，而首先应理解流体速度分解定理和变形速度张量。文献[2]对速度分解定理虽作了较直观的描述和推导但不严格，而文献[1]对该部分内叙述较详细。3.1速度分解定理刚体运动包括平动和转动两部分，一般可表为（36）其中是刚体中选定一点上的平动速度，是刚