应用随机过程报告

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1、马尔可夫链的研究及其在证券价格预测上的应用12121177洪星12121395赫威12121236张前飞12121648崔政一.引文马尔可夫链是一种时间离散、状态离散的随机过程，是预测问题中常用的一种数学模型。我们在对实际问题的研究中经常会遇到随时间变化而持续变化的各种过程，其中一部分的变化过程与过去有着紧密的联系，比如人口增长问题，稳定的人口增长必定会由一段时间前的人口结构情况所影响；而另一部分的变化过程则与过去并没有联系，下一步的变化只与现在的变化有关联，比如分子的无规则运动就是马尔可夫过程的连续化下的情况。而在证券市场中，由于政策以及各种信息的干扰，往往两个相同的政策在不同时间出台后的

2、效果并不一样，甚至可能完全相反，这取决于当前情况下的各种因素。因此，对于股票价格的预测符合马尔科夫过程的情况。二.正文(一)马尔可夫过程的基本原理按照系统的发展，时间可离散化为n=0,1,2,3…i,…，对每个系统的状态可以用随即变量来表示，并且对应一定的概率，称之为状态概率。当系统由某一个阶段的状态转移到下一个阶段的状态时，在这个转移过程中，存在着转移的概率，称之为转移概率。如果转移概率只与目前相邻两状态的变化有关，即下阶段的状态只与现在状态有关，而与过去无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移系统过程，成为马尔可夫过程。设{Xn,n=0,1,2,3……}是一个状态空间为离散，参数为非

3、负的随机过程，那么{Xn}满足P{X(n+1)=j

4、X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1,Xn=i}=P{X(n+1)=j

5、Xn=i}就称{Xn}为马尔可夫链。有限维马尔可夫链的概率可以用下列算式描述：P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1,Xn=in}=P{X(n+1)=j

6、X(0)=i0,X(1)=i1,…,X(n-1)=in-1}P{X(0)=i0,X(1)=i1,…,X(n-1)=in-1}=PXn=jXn-1=in-1…P{X(1)=i1

7、X0=i0}P{X0=i0}为详细描述马尔可夫链的概率分布，可以用初始概率P{X0=i0}和条件概率PXn=jXn-1=i

8、来表示。用Pij(k)来表示当时间为k时，X(k)取值为i的情况下，在下一个时间k+1时，Xk+1取值为j的概率，称为一步转移概率。其中：Pijk=PXk+1=jXk=i由上述可得一步转移概率Pij(k)具备下面两个性质：1.Pijk≥0(i,jϵI)2.jϵrPijk=1(i∈I)对于马尔可夫链{Xn,n=0,1,2,3……}，假设当时间n=k时，X(k)位于状态i，将Xk=i的概率记为Pik，称为马尔可夫链的状态概率，有时也写作P{Xk=i}。若马尔可夫链的状态空间为有限个数状态组成，则所有状态概率组成的列矩阵记为pk=[p1kp2k…pM(k)]T称为状态概率分布列。根据全概率公式有i

9、=1MPik=1如果马尔可夫链X(n)在s时间处于状态i，在n时间处于状态j的情况下的概率称为马尔可夫链的n→s步转移概率，记为Pijs,n，即Pijs,n=PXn=jXs=i同样可以得到其中定义2.2在马尔科夫链X（n）中，如果从k时间的i状态转移到k+1时间的j状态的概率大小与时间k无关，用公式表示为则称该链为齐次马尔科夫链。也就是说齐次马尔科夫链的转移概率只取决于时间差n-s，它与字母n和s本身的取值大小无关。设P代表齐次马尔科夫链的一步转移概率所组成的矩阵，状态空间I由状态{0,1,2，…}所组成，则有P={}=由此得到的一步转移概率矩阵P的每一个元素是非负的，而且将各行元素相加得到

10、的结果均为1.如果马尔科夫链的状态空间是有限的，则称其为有限状态的马尔科夫链，如果状态空间I={0,1,2，…}为无限的，则称其为可列状态的马尔科夫链。因为马尔科夫链的n（n≥1）步转移概率可记为说明了马尔科夫链在k时间的i状态离开运行到k+1时间的j状态的概率，所以转移概率具有下面两个性质：（1)（2)(二)Chapman-Kolmogorov方程Chapman和A.H.Kolmogorov分别是英国和苏联的数学家，他们共同研究了根据马尔科夫链一步转移概率求出它的任意步转移矩阵。我们根据m步转移概率定义和全概率公式，得到如下计算过程：通过对马尔科夫链{X（n),n=0,1,2,…}的m+r

11、步转移概率的计算有下面公式成立这个公式就是Chapman-Kolmogorov方程，也即C-K方程，可以简写为如果马尔科夫链是齐次的，则C-K方程可以相应地表示为C-K方程说明，对于步数很高的转移概率可用低步数甚至是可以用一步转移概率来表示，这就提供了一种计算转移概率的基本方法。如果用表示m步转移概率矩阵，则C-K方程可以简写为令m=r=1，则有再利用数学归纳法可以得到用和式表示，则有为了方便起见，就用字母P