正、余弦函数图象与性质的复习回顾

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1、正、余弦函数图象与性质的复习回顾湖南祁东育贤中学周友良421600衡阳县三中曾新华一.基础知识回顾1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(p,0)(,-1)(2p,0)余弦函数yxo1-1y=cosxxÎ[0,2p]的五个点关键是(0,1)(,0)(p,-1)(,0)(2p,1)3.图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RR值域最大值为1，最小值为-

2、1最大值为1，最小值为-1R无最大值，最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[上都是增函数；在[上都是减函数（kZ）在[（）上都是增函数；在[]都是减函数在（上都是增函数对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标，以上的既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标为，以上的是中心对称图形对称中心坐标,(kZ)二、讲解范例：例1求函数y＝sinπ的单调增区间误解：令ｕ＝π∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上递增∴2kπ－≤π≤2kπ＋解得－4k≤x≤－4k＋2∴原函数的单调递

3、增区间为［－4k，－4k＋2］(k∈Z)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝π，忽视了ｕ是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝π，则u是x的减函数又∵y＝sinｕ在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上为减函数，∴原函数在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上递增设2kπ＋≤π≤2kπ＋解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)∴原函数在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上单调递增解法二：将原函数变形为y＝－sinπ因此只需求sinπ＝y的减区间即可∵ｕ＝π为增函数∴只需求sinｕ的递减区间∴2kπ＋≤π≤2k

4、π＋解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)∴原函数的单调递增区间为［4k＋2，4k＋4］(k∈Z)例2a、b是不相等的正数求y＝的最大值和最小值解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)y2＝acos2x＋bsin2x＋2·＋asin2x＋bcos2x＝a＋b＋∵a≠b，(a－b)2＞0，0≤sin22x≤1∴当sin2x＝±1时，即x＝(k∈Z)时，y有最大值；当sinx＝0时，即x＝(k∈Z)时，y有最小值＋评析:利用三角函数的有界性如｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1来求三角函数的最值例3在0≤x≤条

5、件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y＝－2sin2x－3·＝2(cos2x－sin2x)－1＝2(cos2xcos－sin2xsin)－1＝2cos(2x＋)－1∵0≤x≤，≤2x＋≤cos(2x＋)在［0，）上是减函数故当x＝0时有最大值当x＝时有最小值－1cos(2x＋)在［，］上是增函数故当x＝时，有最小值－1当x＝时，有最大值－综上所述，当x＝0时，ymax＝1当x＝时，ymin＝－2－1评析:如果f(x)在［α，β］上是增函数，则f(x)在［α，β］上有最

6、大值f(β)，最小值f(α)；如果f(x)在［α，β］上是减函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β)例4求f(x)＝sin4x＋2sin3xcosx＋sin2xcos2x＋2sinxcos3x＋cos4x的最大值和最小值解：f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋2sinxcosx(sin2x＋cos2x)＋sin2xcos2x=1＋2sinxcosx－sin2xcos2x令ｔ＝sin2x∴－≤ｔ≤①f(ｔ)＝1＋2ｔ－ｔ2＝－(ｔ－1)2＋2②在①的范围内求②的最值当ｔ＝，即x＝kπ＋(k

7、∈Z)时，f(x)max＝当ｔ＝－，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)min＝－评析:利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例5.对函数y=lg(2sinx)，回答下列问题（1）求定义域；（2）当x分别为何值时，y=0、y最大，并求出（3）当x从0逐渐增加到时，函数怎样变化？（4）y是否是周期函数，若是求其周期。分析与解答：（1）根据对数函数的性质，须真数2sinx>0解得，所以函数的定义域为。（2）要使y=0，须2sinx=1，解得或。∴当或时，y=0。令u=2sinx，则y=lgu，，函数y=lgu在区间上是

8、增函数，∴当sinx=1,u=2sinx=2时y最大。∴。（3）令u=2sinx，则y=lgu，，函数y=lgu在区间上是增函数，当x由0逐渐增加到时，u=2sinx由0增加到2，y=lgu由增加到lg2。