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1、线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇第一讲行列式一、基本概念与有关结论(1)基本概念排列逆序、逆序数奇、偶排列对换行列式的记号、含义、及定义式（）余子式代数余子式齐次线性方程组和非齐次线性方程组(2)有关结论对换的性质定理1(P3定理1.1)推论1(P3推论1)推论2(P3推论2)推论3(P3推论3)定理2（Cramer法则P20定理1.5）*齐次线性方程组总有零解推论1(P22推论)若齐次线性方程组的系数行列式不为零,则方程组只有零解.推论2(P3)若齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列
2、式必为零.二、计算行列式的理论方法——行列式的定义、性质、展开定理和Laplace定理行列式的定义性质:1.;2.;-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇;3.;4.;;5.;6..展开定理(P15定理1.3)推论(P15推论1,推论2)-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇Laplace定理(P18定理1.4)三、习题解答1.P238.（3）提示:原式2.P238.（4）提示:见P254.的解答3.P2411.（2）、（3）提示:（2）原式;（3）同（2）.4.P2411.（4）
3、提示:计算.5.P2412.（1）提示:方法一按最后一行展开方法二产生下三角行列式:从第二列开始,依次将前一列的倍加到后一列上.方法三从最后一列开始,依次将做后一列的倍加到前一列,然后按第一列展开.方法四按第一列展开,产生递推公式.6.P2412.（2）-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇提示:原式7.P252.提示:8.P253.提示:-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇记住结论,了解证明思路.9.P254.提示:设,一方面,按范德蒙行列式有,另一方面,按最后一列展开有,比较
4、两式中的系数可得.-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇附:范德蒙行列式的另一证明记住结论,了解证明思路.10.P255.提示:见P2411.（4）的解答四、知识扩展1.设均为3维列向量,记矩阵,.如果,求.（2005一）（答案:2）2.已知均为2维列向量,矩阵.若,求.（2006四）（答案:-2）3.设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,求.（2006一）（答案:2）提示:方法一方法二-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇4.设行列式,求第四行各元素余子式之和的值.（2001四）（答
5、案:-28）提示:方法一直接计算方法二技巧5.计算五阶行列式.（1996四）提示:方法一产生递推公式方法二产生递推公式.6.设为阶方阵,满足,其中为的伴随矩阵,为的转置矩阵.证明:若为非零方阵,则.（1992四,1994一）提示:因为为非零阵,所以可设于是.另一方面,-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇,所以.7.设矩阵满足.若为三个相等的正数,求.（2005三）（答案:）8.设矩阵,矩阵满足,计算.（2004一）（答案:）提示:方法一然后求.方法二注意本题仅仅求的是.故由9.设为阶矩阵,
6、满足,求.（1995一）（答案:0）提示:（）-9-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇10.设有齐次方程组,试问取何值时该方程组才可能有非零解？（2004一二）（答案:0或）11.设阶矩阵与等价,证明:同时为零或同时不为零.（2004三四）提示:12.已知行列式和齐次线性方程,证明:都是该方程的解.提示:-9-
