第28讲平面向量的数量积

第28讲平面向量的数量积

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1、第28讲 平面向量的数量积项目一知识概要1.两个向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.3.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a方向上的射影

12、b

13、cosθ的乘积或b的长度

14、b

15、与a在b方向上的射影

16、a

17、cosθ的乘积.4.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=

18、a

19、cosθ;(2)a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)

20、a

21、=;(4)cosθ=;(5)

22、a

23、·b

24、≤

25、a

26、

27、b

28、.5.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.6.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到(1)若a=(x,y),则

29、a

30、2=x2+y2或

31、a

32、=.(2)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.项目二例题精讲任务一 平面向量数量积的运算问题【例1】 (1)在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于(  )A.-16B.-8C.8D.16(2)已

33、知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.分析 (1)C=90°,可选取向量,为基底表示向量或者利用数量积的几何意义;(2)建立坐标系求向量的坐标,也可利用数量积的几何意义.答案 (1)D (2)1 1解析 (1)方法一 ·=(-)·(-)=-·+2=16.方法二 ∵在方向上的射影是AC,∴·=

34、

35、2=16.(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,

36、-1)=1.因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,故·的最大值为1.方法二 由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的射影都是CB=1,∴·=

37、

38、·1=1,当E运动到B点时,在方向上的射影最大即为DC=1,∴(·)max=

39、

40、·1=1.评注 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题,充分利用了已知条件.任务二 求向量的夹角与向量的模问题【例2】 (1)已知向量a,b夹角为45°,且

41、a

42、=1,

43、2a-b

44、=,则

45、b

46、=________.(2)已知向量与的夹角为120°,且

47、

48、=3,

49、

50、=2.若A=λ+,且⊥

51、,则实数λ的值为________.分析 利用数量积的定义a·b=

52、a

53、·

54、b

55、cosθ.答案 (1)3 (2)解析 (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解.∵a,b的夹角为45°,

56、a

57、=1,∴a·b=

58、a

59、·

60、b

61、cos45°=

62、b

63、,

64、2a-b

65、2=4-4×

66、b

67、+

68、b

69、2=10,∴

70、b

71、=3.(2)由⊥知·=0,即·=(λ+)·(-)=(λ-1)·-λA2+2=(λ-1)×3×2×-λ×9+4=0,解得λ=.评注 (1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对

72、a

73、=要引起足够重视,它是求距离常用的公式.(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在

74、向量的运算中,灵活运用运算律,达到简化运算的目的.任务三 数量积的综合应用问题【例3】 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.分析 (1)由m∥n可得△ABC的边角关系,再利用正弦定理边角互化即可证得结论;(2)由m⊥p得a、b关系,再利用余弦定理得ab,代入面积公式.(1)证明 ∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·=b·,其中R是三角形ABC外接圆半径,∴a=b.∴△ABC为等腰三角形.(2)解析 由

75、题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=absinC=×4×sin=.评注 以向量为载体考查三角形问题时,要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.任务四 数量积问题的数形结合求解问题【例4】 如图所示,把两块斜

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