第28讲平面向量的数量积

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1、第28讲　平面向量的数量积项目一知识概要1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a方向上的射影

12、b

13、cosθ的乘积或b的长度

14、b

15、与a在b方向上的射影

16、a

17、cosθ的乘积．4．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝

18、a

19、cosθ；(2)a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)

20、a

21、＝

22、；(4)cosθ＝；(5)

23、a·b

24、≤

25、a

26、

27、b

28、.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

29、a

30、2＝x2＋y2或

31、a

32、＝.(2)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.项目二例题精讲任务一　平面向量数量积的运算问题【例1】　(1)在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝

33、4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．分析　(1)C＝90°，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义．答案　(1)D　(2)1　1解析　(1)方法一　·＝(－)·(－)＝－·＋2＝16.方法二　∵在方向上的射影是AC，∴·＝

34、

35、2＝16.(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E

36、(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的最大值为1.方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的射影都是CB＝1，∴·＝

37、

38、·1＝1，当E运动到B点时，在方向上的射影最大即为DC＝1，∴(·)max＝

39、

40、·1＝1.评注　求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．任务二　求向量的夹角与向量的模问题【例2】　(1)已知向量a，b夹角为45°，且

41、a

42、＝

43、1，

44、2a－b

45、＝，则

46、b

47、＝________.(2)已知向量与的夹角为120°，且

48、

49、＝3，

50、

51、＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．分析　利用数量积的定义a·b＝

52、a

53、·

54、b

55、cosθ.答案　(1)3　(2)解析　(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．∵a，b的夹角为45°，

56、a

57、＝1，∴a·b＝

58、a

59、·

60、b

61、cos45°＝

62、b

63、，

64、2a－b

65、2＝4－4×

66、b

67、＋

68、b

69、2＝10，∴

70、b

71、＝3.(2)由⊥知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λA2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.评注　(1)在数量积的基

72、本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对

73、a

74、＝要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．任务三　数量积的综合应用问题【例3】　已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．分析　(1)由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由m⊥p得a、b关系

75、，再利用余弦定理得ab，代入面积公式．(1)证明　∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解析　由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.评注　以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法．任务四　数量积问题的数形结合求解问题【例

76、4】　如图所示，把两块斜