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1、第25讲平面向量的数量积（1课时）神经网络准确记忆！平面向量数量积和运算重点难点好好把握！重点：1．数量积的概念的几何意义。2．数量积的坐标运算及运算律。难点：1．数量积运算的应用。2．数量积的性质。考纲要求注意紧扣！1．掌握平面向量的数量积及其几何意义。2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。3.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用。4.掌握平移公式。命题预测仅供参考！1．数量积在高考中占有重要地位，涉及的题型有选择题
2、、填空题、解答题。2．数量积在数学和其他学科中的应用。考点热点一定掌握！1．平面向量的数量积⑴定义：a、b的数量积a·b=
3、a
4、·
5、b
6、·。其中a、b不等于零，是a、b的夹角，，数量积也称为内积。规定：0向量与任一向量的数量积为0。特别地，当a与b同向时，a•b=
7、a
8、
9、b
10、（这也是∥的另一形式的充要条件）；当a与b反向时，a×b=-
11、a
12、
13、b
14、。⑵a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影
15、b
16、cosq的乘积。例．已知,,与的夹角是120º，计算：⑴；⑵。解：⑴⑵点评：求向量
17、的模时，注意利用公式，。2．平面向量数量积的运算数量积的运算律：；；。数量积的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则：a•b=x1x2+y1y2。注意事项：①若或，则，反之则不然。因为当时，也有。②若，则，反之则不然，即向量等式不能两边同时除以一个向量。③。因为是一个数，那么与平行，同理与平行，而一般、并不平行。即向量数量积的结合律不成立。例．设、、是任意的非零向量，且相互不共线，则下列四个命题中是真命题的有（）：⑴；⑵；⑶不与垂直；⑷。.⑴⑵.⑵⑶.⑶⑷.⑵⑷解：因为与平行，与平
18、行，所以和不一定相等，命题⑴不正确。因为、、是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边，可知命题⑵正确。因为[]=，所以与垂直，命题⑶不正确。，命题⑷正确。综上所述，应选。3．数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，是a与b的夹角，则⑴e•a=a•e=
19、a
20、cosq。⑵a^bÛa•b=0。⑶设a=(x,y)，则特别的a•a=
21、a
22、2或。设a的起点和终点坐标分别为、，则（两点距离公式）。⑷cosq=，其中a=、b=（夹角公式）。⑸
23、a•b
24、≤
25、a
26、
27、b
28、。⑹几
29、个推论在数量积运算律中，有三个形似实数的公式在解题中可以直接应用：(a±b)２＝a２±２a·b＋b２，(a＋b)(a－b)＝a２－b２。例．已知两单位向量a与b的夹角为120º，若c=2a-b，d=3b-a，试求c与d的夹角。解：∵a、b为两单位向量，∴
30、a
31、=
32、b
33、=1，又a与b的夹角为120º，∴a•b=
34、a
35、•
36、b
37、cos120º，∵
38、c
39、=c•c=(2a-b)•(2a-b)=4a•a-4a•b+b•b=4
40、a
41、-4a•b+
42、b
43、=7，∴
44、c
45、=。∵，∴。∵，∴（其中为的夹角）。∴。4．两个
46、向量垂直的充要条件a^bÛa•b=0（a、b均为非零向量），设a=、b=，则a^bÛx1x2+y1y2=0。例．已知，，与的夹角为，，，当实数为何值时，⑴∥；⑵。解：⑴要使∥，则要，即，∴当时，∥。⑵要使，则要，即，∴，∴，∴。5．数量积的应用例（2002年高考题）．已知两点，且点使、、、、成公差小于零的等差数列⑴点的轨迹是什么曲线？⑵若点坐标为，记为与的夹角，求。解：（1）设P（x，y），由M（－1，0），N（1，0）得，=－=（－1－x，－y），=（1－x，－y），=（2，0），∴=2（1+x
47、），=x2+y2－1，=2（1－x），于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（2）点P的坐标为（x0，y0），∴∵，∴，∴，∴。点评：本题是向量在数列与曲线方程中的应用。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！习题双基细目表XL0105平面向量的数量积及其运算12345678a·b=
48、a
49、·
50、b
51、·（定义）√a•b=x1x2+y1y2(坐标运算)(数量积的交换律)(数对数量积的结合律)√(加法对数量积的分配律)√e•a=a•e=
52、a
53、cosq（性质）
54、a•
55、b
56、≤
57、a
58、
59、b
60、（性质）√(a±b)２＝a２±２a·b＋b２（推论）√(a＋b)(a－b)＝a２－b２（推论）√XL0106平面向量的垂直a^bÛa•b=0√a^bÛx1x2+y1y2=0√XL0109应用（两点距离公式）√cosq=（夹角公式）√1．判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥若ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ
