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1、探讨几何学中的距离湖北省利川市第四高级中学张兴华【摘要】几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科．直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法．距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离．距离问题是几何学中的难点，如何求空间各种各样的距离呢？解决空间距离问题主要有：综合方法，向量方法，坐标方法．点到面的距离的具体方法：1.直接法,2.体积法,3.转化法,4.向量法.例题析解：例1,例2.,例3.总结规律：不作距离和作出距离【关键词】几何学距离能力等价转化方法例题归纳一．几何学概述几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位
2、置关系的学科．直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系；培养和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学课程的一个基本要求．同时通过建立坐标系，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系．体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力．二．距离综述距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离．普通高中课程标准实验教科书数学必修2及选修2—1中的立体几何中只讲了两点间距离公式，选修
3、2—1中的立体几何中第111页的练习第2题是求异面直线的距离,而其中点到直线和点到平面之间的距离问题是立体几何研究的重要问题之一；在解析几何中已讲过三种距离公式，即两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．纵观近几年已实施普通高中课程标准实验教科书的省（市）高考试题中有立体几何距离问题的考查，如2009年普通高等学校招生全国统一考试浙江试题理科数学解答题第20题第2问中求点到直线的距离，2010年普通高等学校招生全国统一考试广东试题文科数学解答题第18题第2问中求点到直线的距离，2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏试题理科数学解答题第16题第2问中求点到平
4、面的距离等等．结合全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下）讲的距离及薛金星的中学教材全解——高中数学,归纳八种常见的空间中的距离：1．两点间的距离——连结两点的线段的长度．2．点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂线，垂线段的长度．3．点到平面的距离——从点向平面引垂线，垂线段的长度．4．平行直线的距离——从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度．5.异面直线的距离——两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的公垂线段的长度．6．直线与平行平面的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，垂线段的长度．7．两个平行平面的距离——
5、夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度．8．球面距离——经过球面上两点的球大圆在这两点之间的劣弧的长叫做两点的球面距离．三．求距离的方法距离问题是几何学中的难点，如何求空间各种各样的距离呢？最主要的是在解题的过程中贯穿等价转化的思想方法，具体地说可借助于面面平行、线面平行、面面垂直的性质将线线距离、面面距离及线面距离转化为点到平面的距离，也即从“高维”降到“低维”的思想；也可以借助于射影进行转化，最基本的是对距离概念的理解，最终转化为求两点间的距离；也可以利用向量法求距离以达到简化解题的目的．用向量来处理立体几何问题,体现了“数”与“形”的结合,淡化了传统立体几何教材的“形”到“形”
6、的推理方法,从而降低了思维难度,使问题变得程序化,这是用向量法求解立体几何中的距离问题转化为代数问题,求解此类问题时,首先要建立恰当的坐标系．特别注意，转化的方法总是受具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律．解决空间距离问题主要有：综合方法，向量方法，坐标方法．综合方法以逻辑推理作为工具解决问题；向量方法利用的概念及其运算解决问题；坐标方法利用数及运算来解决问题，坐标方法经常于向量运算结合起来使用，对于具体的问题应根据它的条件和特点选择合适的方法．四．点到面的距离点到面的距离是立体几何研究的重点.研究直线与平面所成的角时经常用到它，同时它又是点到直线的距离的另
7、一种表示．下面研究点到面的距离的具体方法：1.直接法：直接寻找或作出与该距离相对应的垂线段，再证明它就是所要求的距离，然后再借助于直角三角形计算求出．2.体积法：把所求的距离转化为棱锥的高，再通过变换棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的,求出相应的距离．3.转化法：不断地进行点面、线面、面面距离之间的等价转化，直到容易求出为止．平行转移,如图（1）d1=d2,比例转移,如图（2）.PMABCd1d2ad1d2图1图2图34.向量法:如图3用向量方法解决点到平面的距离，
