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1、分析数学中距离的概念摘要：本课题主要以分析数学中的距离的概念为研宄对象，通过对距离概念的研宄，具体分析它的内涵，揭示它的本质，寻找它在分析数学的知识结构中起到的重要作用及解决问题的思想方法。在数学学习中，距离是数学中最基本的概念之一，也是贯穿了初等数学到现代数学全过程的一个概念。我们总结了数学分析中不同的极限形式中距离的表达方法，分析了它们间的内在联系及重要作用。同时又因为它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习数学首先接触的概念。我们又对泛函分析里的距离空间做了研究。关键词：泛函分析;距离;
2、极限;距离空间;向量一、生活中的距离生活中人们对距离概念的理解通常是来自所看见两个物体的相对位置关系，也就是我们所说的远近程度。在物理学中，距离是由某些媒介，如人、动物和交通工具所经过的路线的长度，由起点到终点的向量则是位移。在数学中，距离是一种标量，不具有方向，仅含量，这种量不会是负数。同时，距离也是泛函分析中最基本的概念之一，它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛函分析首要接触的概念，也是定义在度量空间的一种函数。下面我们主要从数学的角度来探宄距离的概念。对于一维、二维、三维空间中两点
3、间的距离，我们都非常熟悉，以三维空间为例，在三维欧式空间中，设其中的两点分别为A(xl，yl，zl)，B(x2,y2,z2),则两点间的距离为AB=(xl-x2)2+(yl-y2)2+(zl-z2)2。这是对于我们现实生活中的距离，我们能借助勾股定理将两点间的距离刻划成线段来得到他们间的数量关系。同样，对于n维线性空间上的距离，我们通过代数形式的类比，得出A,B两点的距离表达式AB=AB=OA-OB=Eni=lxi-yi21/2。从上述内容中可以看出，不论是R中的点还是Rn中的点，甚至任意集合中的点，只要在其中定义了
4、距离，我们就可以用它来衡量两点的接近程度。众所周知，极限是分析数学学习的基础，而距离又是极限定义的基础，所以，下面我们首先来考察距离与极限的关系。二、距离与极限的关系首先我们给出数列极限的定义。定义1:设为数列an，a为定数，如果对任给的正数e，都存在正整数N，使得当n>N时有an-a<e则称数列an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作limn-*ooan=a,an^an-*00读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”。从直观上看，如果将数列看成实数轴上的一列点，任意两点间的距离等于两
5、点差的绝对值，当n越来越大时，an与a的差越来越小(足够小)，也就是说an与a之间的距离越来越小。由此可见，距离在极限的学习中起着至关重要的作用。定义2:若fx在点xO的某领域内有定义，且limx->xOfx=fxO,则称f在点xO连续，xO称为f的连续点。用“e-S”语言即：若对任给的e>O,存在S>O,使得当x-xO<S时有f(x)-f(xO)<e，贝lj称函数f在点xO上连续。由此可见，在数列和一元函数的极限中，距离都可以用两点间的差的绝对值表示出来，所以我们可以得出结论，极限和距离有着
6、密切的关系，极限均可用距离来表示。一般n元函数极限的定义与一元函数的定义类似。三、度量空间中的距离定义3（度量空间定义）：设X是任意一个非空集合，x，y，zex,都有唯一确定的实数d（x，y）与之对应且满足1.（非负性）dx，y^O,d（x,y）=0x=y;2.（三点不等式）d（x，y）（x，z）+d（y，z）;称dx，y是x，y之间距离，称X，d为度量空间（或距离空间）。对于距离空间，我们举几个例子：例1:对于点集Rn，对Rn中任意两点x=（€1，I2,•••,n）,y=（n1,n2,•••,nn）,规定d（x,y
7、）=（Eni=lU-ni2）12,可以验证，d（x，y）满足距离的定义要求，故Rn，d成为一个距离空间，即我们熟知的n维欧氏空间。例2:12表示满足Zo°j=lxj2<+o°的实数列（即平方可和数列）xi的全体，在12上定义：x=xl，…，xi，...£12，y=（yl,•••,yi,…）£12，P（x，y）=E-i=ixi_yj2i2,可以验证，P（x，y）满足距离的定义要求，从而（12，P）为距离空间。此空间在处理无限维Hilbert空间理论时非常重要。下面我们再给出几种不常见到，但又具有重要意义的特殊距离
8、。四、几个特殊距离定义1、切比雪夫距离：数学上，切比雪夫距离(或是L°°度量是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义为其各座标数值差的最大值。以xl，yl和x2，y2二点为例，其切比雪夫距离为max(x2-xl,yl-y2)。若二个向量或二个点p和q，其坐标分别为pi及qi，则两者之间的切比雪夫距离定义如下：Dchebyshev(p，q)=
