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时间:2018-09-21
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1、7C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册!拓展资料:导数在证明恒等式中的应用 一、预备知识 定理1若函数f(x)在区间I上可导,且x∈I,有f′(x)=0,则x∈I,有f(x)=c(常数). 证明在区间I上取定一点x0及x∈I.显然,函数f(x)在[x0,x]或[x,x0]上满足拉格朗日定理,有f(x)-f(x0)=f′(ξ)(x-x0),ξ在x与x0之间. 已知f′(ξ)=0,从f(x)-f(x0)=0或f(x)=f(x0) 设f(x0)=c,即x∈I,有f(x)=c.
2、 定理2若x∈I(区间),有f′(x)=g′(x),则x∈I,有f(x)=g(x)+c,其中c是常数. 二、应用例题 证法f(x)=arcsinx+arccosx,在(-1,1)上是常值函数. 证明设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈(-1,1),有f′(x)=(arcsinx+arccosx)′ 由定理1知,f(x)=c,即arcsinx+arccosx=c其中c是常数. 证明设f(x)=arctanx+arccotx,c∈R,有 由定理1知,arctanx+arccotx=c,其中c是常数.
3、7C教育资源网(www.7cxk.net)域名释义:7c学科网,联系QQ:372986183,787632177C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! 例3证明:arccos(-x)+arccosx=π,x∈[-1,1]. 证明设f(x)=arccos(-x)+arccosx,x∈[-1,1], 于是f′(x)=(arccos(-x)+arccosx)′ 由定理1知,arccos(-x)+arccosx=c,其中c是常数. 令x=1,则c=arccos(-1)
4、+arccos1=π, 于是arccos(-x)+arccosx=π. x∈(1,+∞)有 7C教育资源网(www.7cxk.net)域名释义:7c学科网,联系QQ:372986183,787632177C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! 例5证明:sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=0,x∈[-1,1] 证明设f(x)=sin(3arcsinx)+cos(3arccosx),则x∈[-1,1],有f′(x)=(sin(3arcsinx)+
5、cos(3arccosx))′ 由定理1知,sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=c,其中c是常数. 令x=-1,则c=sin(3arcsin(-1)+cos(3arccos(-1))=0 于是,x∈[-1,1],有sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=0. 7C教育资源网(www.7cxk.net)域名释义:7c学科网,联系QQ:372986183,787632177C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册!
6、 于是,x∈[0,1],有 证明x∈R,有 即x∈R,有 7C教育资源网(www.7cxk.net)域名释义:7c学科网,联系QQ:372986183,787632177C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! 与g′(x)=0. 从而f′(x)=g′(x),由定理1知,f(x)=g(x)+c 与g′(x)=-1. 从而,f′(x)=g′(x),由定理1知,f(x)=g(x)+c. 从而,c=0.于是,7C
7、教育资源网(www.7cxk.net)域名释义:7c学科网,联系QQ:372986183,787632177C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! 解设F(x)=f1(x)-f2(x) 由定理1知,x∈R(x≠±1),有 (2)x∈(-1,1),令x=0,则 于是, 例11求证:logaxy=logax+logay,其中x>0,y>0. 证明将a,y看作固定常数,x看作变量,设 f(x)=logaxy-logax-logay,x∈(0,+∞).
8、 则x∈(0,+∞),有7C教育资源网(www.7cxk.net)域名释义:7c学科网,联系QQ:372986183,787632177C教育资源网(http://www.7cxk.net),百万资源免费下载,无须注册! 由定理1知,(x)=c或logaxy-logax-
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