高中数学（北师大版）选修1-1教案：第3章 拓展资料：导数在证明恒等式中的应用

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1、拓展资料：导数在证明恒等式中的应用　　一、预备知识　　定理1若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．　　证明在区间I上取定一点x0及x∈I．显然，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．　　已知f′(ξ)＝0，从f(x)－f(x0)＝0或f(x)＝f(x0)　　设f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．　　定理2若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常数．　　二、应用例题　　　　证法f(x)

2、＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．　　证明设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′　　由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常数．　　　　证明设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有　　由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．　　　　　　例3证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．　　证明设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，　　于是f′(x)＝(arcco

3、s(－x)＋arccosx)′　　　　由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．　　令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，　　于是arccos(－x)＋arccosx＝π．　　　　x∈(1，＋∞)有　　　　　　例5证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]　　证明设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′　　　　　　由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arcco

4、sx)＝c，其中c是常数．　　令x＝－1，则c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0　　于是，x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．　　　　　　　　　　　　　　　　于是，x∈[0，1]，有　　　　证明x∈R，有　　　　　　　　　　即x∈R，有　　　　　　　　　　　　与g′(x)＝0．　　从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c　　　　　　　　　　与g′(x)＝－1．　　从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．　　　　　　从而，c＝0．于是，　　　　解设F(x

5、)＝f1(x)－f2(x)　　　　　　由定理1知，x∈R(x≠±1)，有　　　　　　(2)x∈(－1，1)，令x＝0，则　　　　于是，　　例11求证：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．　　证明将a，y看作固定常数，x看作变量，设　　f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．　　则x∈(0，＋∞)，有　　由定理1知，(x)＝c或logaxy－logax－logay＝c．令x＝1，则c＝logay－logay＝0，从而logaxy－logax－logay＝0，　　即logaxy＝logax＋logay．　　例12求x∈R，满足等式ac

6、osx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的所有实数对(a，b)全体，　　解设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则根据定理1，x∈R，应有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)　　(1)a＝0，由题设等式知，－cosb2＝－1－b2或cosb2＝1＋b2．　　解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．　　(a－1)x＋b2＝2kπ或(a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z　　解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，　　并且仅当k＝0，上

7、式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，　　(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z　　解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即2＋b2＝0，　　显然，这样的b不存在．　　综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．　　　　　　　　　　　　例14证明：x，y∈Rsin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny　　证明设f(x，y)＝si