1.2.1《平面的基本性质与推论》

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1、1.2.1平面的基本性质与推论一．平面的基本性质：1．公理1：①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；②图形语言：③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈αABα.练习：（1）。（2）。公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。2．公理2：①文字语言：经过不在同一条直

2、线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。②图形语言：③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α.如何理解公理2？公理2是确定平面的条件.深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.3.公理3：①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.②图形语言：③符号语言：P∈l.P∈(α∩β)α∩β=l如何理解公理3？(1)公理3反映了平面与平

3、面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.(2)从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.(3)公理3的作用:其一判定两个平面是否相交;其二可以判定点在直线上.点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上.因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.二.平面基本性质的推论文字语言：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.图形语言：符号语言：a与A共属于平面α且平面α惟一.（1）推论1：a是任意

4、一条直线点Aa（2）推论2：文字语言:经过两条相交直线，有且只有一个平面.图形语言：符号语言：a，b共面于平面α，且α是惟一的.b是任意一条直线a是任意一条直线a∩b=A（2）推论3：文字语言:经过两条平行直线，有且只有一个平面.图形语言：符号语言：a，b共面于平面α，且α是惟一的.a，b是两条直线a//bm图2l三、空间中两直线的位置关系lmP图1从图中可见，直线l与m既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）1、异面

5、直线判断：(1)图中直线m和l是异面直线吗?αβlmml(2),则a与b是异面直线吗？(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点.(1)相交(2)平行只有一个公共点没有公共点在同一平面ml2、空间中两直线的三种位置关系(3)异面直线mPl没有公共点不同在任一平面mlP探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DA一个正方体的展开图如上，则AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?

6、直线和平面位置关系的符号表示.（1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不在平面α内，记作Bα；（2）直线l在平面α内，记作lα，直线m不在平面α内，记作mα；（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l；（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A},简记为l∩m=A.例1．如图，平面ABEF记作α，平面ABCD记作β，根据图形填写：（1）A∈α，Bα，Eα，Cα，Dα；（2）A∈β，Bβ，Cβ，Dβ，Eβ，Fβ；（3）α∩β=；∈∈∈∈∈AB例2．如图中△ABC，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面

7、α内？解：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴C点一定在平面α内，(点A、点C都在平面α内，)直线AC在平面α内（公理1）.例3．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？4个3个1个或3个例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.解：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一

8、点，设为P，PP又∵D1F平面BED1F，P在平面BED1F内.则P∈D1F，P∈DA，AD平面ABCD，P∈平面ABCD，又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连结PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.例5.如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面α于点P、Q、R，求证：点P、Q、R在同一条直线上.证明：由已知AB的延长线交平面