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时间:2018-10-03
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1、北京科技大学矩阵分解2011年9月29日刘冀伟3.1矩阵的LU分解定义3.1.1方阵ACnn,存在下三角形矩阵LCnn,上三角形矩阵UCnn,称A可做LU分解。定理3.1.1ACnn,rankA=n,则A可作LU分解的充要条件是A的k阶(k=1,2,…,n-1)顺序主子式不为零。定理3.1.2ACnn,rankA=r≤n,A的k阶(k=1,2,…,r)顺序主子式不为零,则A可作LU分解。3.1矩阵的LU分解定义3.1.2方阵ACnn,rankA=n;如果A=LU,其中L是对角线元素
2、为1的下三角形矩阵,U是上三角形矩阵,称A可做Doolitte分解;如果A=LU,其中L是下三角形矩阵,U是对角线元素为1的上三角形矩阵,称A可做Crout分解;如果A=LDV,其中L是单位下三角矩阵,D是对角阵,V是单位上三角矩阵,称A可做LDV分解;3.1矩阵的LU分解定理3.1.3ACnn,rankA=n,则A有唯一的LDV分解的充要条件是Δk≠0,k=1,2,…,n-1。此时对角矩阵的元素满足d1=Δ1,dk=Δk/Δk-1,k=1,2,…,n-1。定理3.1.4ACnn,rankA=n,
3、则A有唯一的Doolitte或Crout分解的充要条件是Δk≠0,k=1,2,…,n-1。3.1矩阵的LU分解计算问题:设ACnn,rankA=n3.1矩阵的LU分解Doolitte分解的计算公式3.2矩阵的满秩分解定义3.2.1方阵ACmn,rankA=r,若存在;FCmr,GCrn,st.A=FG,则称此分解为A的满秩分解。定理3.2.1方阵ACmn,rankA=r,则A的满秩分解总是存在的。计算方法:方法一:F是P的前r列,G是Q的前r行。3.2矩阵的满秩分解方法二:例:求A的L
4、U分解3.3矩阵的QR分解定义3.3.1设uCn是单位向量,即uTu=1,则称H=I-uuT为Householder矩阵。定理3.3.1方阵HCnn是Householder矩阵,则:HH=H(Hermite矩阵)HHH=I(酉矩阵)H2=I(对合矩阵)H-1=H(自逆矩阵)detH=-1diag(Ir,H)是n+r阶Householder矩阵3.3矩阵的QR分解定理3.3.2设zCn是单位向量,则对任意xCn,存在Household矩阵H,使得Hx=αz,其中
5、α
6、=‖x‖2,且αxHz为实数。
7、定理3.3.3方阵ACnn,有A=QR,其中Q为酉矩阵,R为上三角矩阵。3.4矩阵的奇异值分解定义3.4.1设A,BCmn是两个复矩阵,若存在酉矩阵U,V使得UHAV=B,则称A与B是酉相抵(酉等价)的。定义3.4.2设ACmn是复矩阵,B=AHA为Hermite矩阵,B特征值的平方根称为A的奇异值。定理3.4.1B=AHA的特征值非负。定义3.4.3设ACnn是复矩阵,称A为正规矩阵,如果有AAH=AHA。Schur引理方阵ACnn,则存在酉矩阵U使得A酉相似于上三角矩阵。3.4矩阵
8、的奇异值分解定理3.4.2方阵ACnn,则A是正规矩阵的充要条件是A酉相似于一个对角阵。定理3.4.3方阵ACmn,则存在酉矩阵P,Q使得其中D=diag(d1,d2,…,dr),d1≥d2≥…≥dr>0,d1,d2,…,dr是A的奇异值,r=rankA
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