第四章正规矩阵与矩阵的分解.docx

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1、第一节正规矩阵【Schur三角化定理】设，则存在酉矩阵，使，其中为一个上三角矩阵.【酉矩阵】阶复方阵的个列向量是空间的一个标准正交基.性质：设有矩阵，，则（1）若是酉矩阵，则也是酉矩阵；（2）若，是酉矩阵，则及也是酉矩阵；（3）若是酉矩阵，则；（4）是酉矩阵的个列向量是两两正交的单位向量.【定理4.1.1】矩阵可以酉对角化.是上三角矩阵，，故可以酉对角化，则酉矩阵使【定义4.1.1】设，若，则称是正规矩阵.【引理4.1.1】设为正规矩阵，若又为三角矩阵，则为对角矩阵.【定理4.1.2】设，则为正规矩阵有个两两正交的单位特征向量.【推论4

2、.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设是复矩阵，，，……，为的个特征值，则（1）（Schur不等式）（2）为正规矩阵（3）【推论】设为正规矩阵且幂零，则.【定义4.1.2】设与是实数，且，则称二阶实矩阵为一个Schur型.【定理4.1.4】（实正规矩阵）设是阶实矩阵，则是正规矩阵存在正交矩阵使得其中每个或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur型.【推论4.1.2】设是阶实矩阵.（1）是对称矩阵存在正交矩阵，使得是对角矩阵；（2）是反对称矩阵存在正交矩阵，使得其中每个，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数

3、；（3）是正交矩阵存在正交矩阵，使得其中每个是二阶Givens旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1.设是阶复矩阵.（4）是Hermite矩阵存在正交矩阵，使得是实对角矩阵；（5）是反Hermite矩阵存在正交矩阵，使得是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）是酉矩阵存在酉矩阵，使得是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite矩阵正定的所有顺序主子式均大于0；【引理4.1.2】Hermite阵或实对称矩阵在某一个维子空间上正定至少有个特征值（包括重数）大于零.第二节正规矩阵的谱分解设是正规矩阵，则由

4、定理4.1.1知，存在酉矩阵使得.因而.令，则（4.2.1）由于为的特征值，为对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵的谱分解或特征（值）分解。若把式（4.2.1）中系数相同的放在一起（0特征值对应的项去掉），然后把系数提出来，则公式（4.2.1）就变成，其中为的互不相同的非零特征值，由于所以由幂等矩阵与投影变换的对应关系可知，是某正交投影变换（在某基下）的矩阵，故常称为正交投影矩阵。