正规矩阵与矩阵分解

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1、第第第四四四章章章正正正规规规矩矩矩阵阵阵与与与矩矩矩阵阵阵的的的分分分解解解除特别说明,本章讨论的矩阵都是复数矩阵.引引引言言言矩矩矩阵阵阵如如如何何何快快快速速速计计计算算算?在第一章中,我们已经看到如果将一个小秩矩阵分解为两个满秩矩阵的乘积,则可以快速地计算该矩阵的高次幂.实际上,利用初等变换求可逆矩阵A的逆矩阵,其本质就是将矩阵A分解为若干较为简单的矩阵(即初等矩阵)的乘积.解线性方程组的Gauss消元法其实质也是矩阵分解.回忆两个m×n矩阵A与B等价是指存在可逆矩阵P与Q使µ¶Ir0得B=PAQ.若r(A)=

2、r,则A等价于分块矩阵.现考虑线性方程组Ax=b的同00解方程组PAx=Pb,如果令x=Qy,则得µ¶Ir0y=Pb.(4.0.1)00于是由(4.0.1)的解即可得到原方程组的解.这里的实质也是矩阵分解,即将A分解成A=µ¶¡1Ir0¡1PQ.00近几十年来,随着计算机的不断更新换代,计算技术得到了迅猛发展并促使矩阵分解快速成为解决众多工程问题的有力手段.因此本章集中介绍几种常用的矩阵分解,包括谱分解和Schur三角化分解,Cholesky分解与LU分解,正交三角分解(又称为QR分解)以及奇异值分解.由于所有分解的目

3、的不外乎简化计算或深化理论,因此都要涉及一些特殊矩阵,故我们首先介绍这些“好矩阵”.第第第一一一节节节正正正规规规矩矩矩阵阵阵由Schur三角化定理,任何一个矩阵都可以酉三角化,因此一个“好矩阵”当能够酉对角化.但是以往判断一个矩阵能否(酉)对角化需要借助于特征值与特征向量,这是极其不方便的,因为我们知道寻找矩阵的特征值与特征向量常常是极为困难的工作.本节的目的即是给出一类可以酉对角化的“好矩阵”一个直接的判断,即下述定定定理理理4.1.1矩阵A可以酉对角化⇐⇒AA¤=A¤A.证证证由Schur三角化定理,存在酉矩阵U

4、使得U¤AU=T为上三角矩阵.显然AA¤=A¤A⇐⇒TT¤=T¤T.因此不妨设A是上三角矩阵.必要性是显然的,因为如果A可以酉对角化,则存在酉矩阵U使得U¤AU=D为对角矩阵,因此AA¤=(UDU¤)(UD¤U¤)=UDD¤U¤=(UD¤U¤)(UDU¤)=A¤A.充分性.记A=(aij),其中aij=0,i>j.因为AA¤=A¤A,故两端矩阵具有相同的对角元素,因此a11a11+a12a12+···+a1na1n=a11a11,故知A的第一行的非对角元素均为0.于是利用归纳法即可知A是对角矩阵.¤通常将可以酉对角化的

5、矩阵称为正规矩阵,即有下面的定义:104定定定义义义4.1.1设A∈Cn£n,若AA¤=A¤A,则称A为正规矩阵.实对称矩阵,实反对称矩阵,正交矩阵,Hermite矩阵,反Hermite矩阵,酉矩阵等都是正规矩阵.另外,若A为正规矩阵,则与A酉相似的矩阵仍为正规矩阵.01110例例例4.1.1矩阵@011A是正规矩阵.101由定理4.1.1的证明可以得到下面的引引引理理理4.1.1设A为正规矩阵,若A又为三角矩阵,则A为对角矩阵.µ¶11例例例4.1.2矩阵可以相似对角化,但由引理4.1.1,它不能酉对角化.注意,该矩

6、00阵是一个幂等矩阵.将正规矩阵A酉对角化的酉矩阵的每一列都是A的特征向量,由酉矩阵的构造可得(细节见习题4)定定定理理理4.1.2设A∈Cn£n,则A为正规矩阵⇐⇒A有n个两两正交的单位特征向量.推推推论论论4.1.1正规矩阵属于不同特征值的特征向量是相互正交的.正规矩阵有许多良好的数字特性,比如下面的定定定理理理4.1.3设A=(aij)n£n是复矩阵,λ1,λ2,···,λn为A的n个特征值.则PnPn(1)(Schur不不不等等等式式式)

7、λi

8、2≤

9、aij

10、2;i=1i,j=1PnPn(2)A为正规矩阵⇐⇒

11、

12、λi

13、2=

14、aij

15、2.i=1i,j=1证证证此处仅给出证明轮廓,细节见习题9.由Schur酉三角化定理可知U¤AU=B是上三角矩阵,利用下述等式(见第一章,命题1.1.1(5))Xntr(AA¤)=

16、a

17、2iji,j=1并比较tr(AA¤)与tr(BB¤).¤例例例4.1.3设A为正规矩阵且幂零,则A=0.由第三章例3.1.11知A的特征值均为0,再由定理4.1.3即知A=0.µ¶01例例例4.1.4实数矩阵可以酉对角化,故它是正规矩阵,但它不能正交对角化(为−10什么?).105为了更好地描述实正规矩阵,我们引入以

18、下的定义.定定定义义义4.1.2设a与b是实数且b6=0.则称2阶实矩阵µ¶ab(4.1.1)−ba为一个Schur型型型.注注注.1831年,Gauss将复数看作平面上的点,并得出了模长为1的复数相当于平面上的旋转变换这一结论.式(4.1.1)中的Schur型正是复数a+bi的矩阵表示,源自A.Cayley(1845年).易知,