第3章-集合论

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1、第二篇集合论集合论是现代各科数学的基础，它的起源可追溯到16世纪末期，那时为了建立微积分的可靠基础，人们对数集进行了研究。直到19世纪末，Cantor发表了一系列有关集合的论文，基本奠定了集合论的基础。不过，随后数学哲学中提出各种悖论，致使集合论的发展一度陷入困境。幸好不久，策墨罗(Zermelo)出现了，他提出了集合论的一整套公理体系，使数学哲学中所产生的悖论基本得到统一。从此集合论的发展进入飞速发展的时代。第3章集合第4章关系第5章函数。题外话：三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论——毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论。什么是悖论？笼统

2、地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论是数学的一部分，在历史上曾为数学的发展提供了重要而持久的助推力。一个悖论的数学本质被揭露了，它似乎就失去了被继续研究的价值。但是，在数学发展的历史上，它功不可没。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信

3、仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危

4、机。微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引

5、起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。下面仅举一无穷级数为例。　　无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？　　当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到1+x+x^2+x^3+.....=1/(1-x)后，令x=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！　　由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。把分析重

6、新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。经过数学家柯西，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自独立深入的研究，终于从不同的角度建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭

7、到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。設性質P(x)表示，現假設

8、由性質P確定了一個類A——也就是說。那麼現在的問題是：是否成立？首先，若，則x是A的元素，那麼x具有性質P，由性質P知；其次，若，也就是說x具有性質P，而A是由所有