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1、习题一1.解:2.解:CXA=XA={1,2,3,4,5,6}{1,2,3}={4,5,6}CXB=XB={1,2,3,4,5,6}{2,4,6}={1,3,5}=CCXA∪CXB={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6}CXA∩CXB={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.3.解:(1)不正确.例如:A={1},B={1,2,3},C={2,3}有A∪B=A∪C={1,2,3},但B≠C.(2)不正确.例如:A={1,2},B={1},C={1,3}有A∩B=A∩C={1},但B≠C.4.解:(1)且,有,即A中不同的元素的有不同的像,∴f
2、是单射.又,有,使,即B中每个元素都有原像,∴f是满射.综上所述,f是一一映射.(2),有,使即B中每个元素都有原像,∴f为满射.但,当,且,如为整数时,有,即A中不同的元素有相同的像,∴f不是单射.综上所述,f为满射,但不是单射.(3),且,有,即A中不同的元素有不同的像,∴f是单射.又,即B中的元素0没有原像,∴f不是满射.综上所述,f是单射.,但不是满射.5.解:(1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函
3、数相等.(3)不相等.因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.6.解:(1)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是.(2)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是.(4)要使函数有意义,必须即即或,(k为整数).也即(k为整数).所以函数的定义域是,k为整数.7.解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].8.解:,9.解:10.解:11.证:由解得
4、,故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.12.解:(1)由解得,所以函数的反函数为.(2)由得,所以,函数的反函数为.(3)由解得所以,函数的反函数为.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.13.解:(1)是偶函数.(2)函数是奇函数.14.解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当时,有,当时,有,故有.即函数有上界.又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.又由知,当且时,,而当且时,.故函数在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+∞
5、),且,使.取,则有,所以函数在定义域内是无界的.又当时,有故.即当时,恒有,所以函数在内单调递增.15.解:(1)是由复合而成.(2)是由复合而成.(3)是由复合而成.(4)是由复合而成.16.证:(1)设,则,有故为偶函数.(2)设则,有故为奇函数.17.解:设年销售批数为x,则准备费为103x;又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.设总费用为,则.18.解:当x能被20整除,即时,邮资;当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.综上所述有其中,分别表示不超过,的最大整数.19.证:(1)由得解方程得,因为,所以,所以的反函数是(2)由得,得;又由得,所以函数
6、的反函数为20.解:从而.由得定义域为.21.解:当时,.,当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.22.解:,,要使,只须.取,则当时,必有.当时,或大于1000的整数.,,要使只要即即可.取,则当时,有.当时,或大于108的整数.23.证:,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.(2),要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.(3),要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.24.证:,由极限的定义知,,当时,恒有.而,当
7、时,恒有,由极限的定义知但这个结论的逆不成立.如但不存在.25.解:而,当时,.(2)记则有即而故即.(3)即而故.(4)而故.26.证:(1),不妨设,则.故对所有正整数n有,即数列有上界.又显然有,又由得,从而即,即数列是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列有极限.设,则,于是,(不合题意,舍去),.(2)因为,且,所以,即数列有界又由知与同号，从而可推得与同号，而故,即所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.设,则，解得(不合题意，舍去).所以27.证：(1),要使,只须,取，则当时，必有,故.(2),要使,只须,取，则当时，必有,故.(3),
