同济大学第六版高数答案

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1、同济六版高等数学课后(3)因为,所以f(x)是偶函数.(4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为,所以f(x)是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y=cos(x-2);解是周期函数,周期为l=2p.(2)y=cos4x;解是周期函数,周期为.(3)y=1+sinpx;解是周期函数,周期为l=2.(4)y=xcosx;解不

2、是周期函数.(5)y=sin2x.解是周期函数,周期为l=p.14.求下列函数的反函数:(1)Error!Nobookmarknamegiven.Error!Nobookmarknamegiven.;解由得x=y3-1,所以的反函数为y=x3-1.(2)Error!Nobookmarknamegiven.;解由得,所以的反函数为.(3)(ad-bc¹0);解由得,所以的反函数为.(4)y=2sin3x;解由y=2sin3x得,所以y=2sin3x的反函数为.(5)y=1+ln(x+2);解由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+

3、2)的反函数为y=ex-1-2.(6).解由得,所以的反函数为.15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使

4、f(x)

5、£M,即-M£f(x)£M.这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M.再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1£f(x)£K2.取M=max{

6、K1

7、,

8、K2

9、},则-M£K1£f(x)£K2£M,即

10、f(x)

11、£M.这就证明了f(x)在X上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,

12、并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:(1)y=u2,u=sinx,,;解y=sin2x,,.(2)y=sinu,u=2x,,;解y=sin2x,,.(3),u=1+x2,x1=1,x2=2;解,,.(4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;解,,.(5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1.解y=e2x,y1=e2×1=e2,y2=e2×(-1)=e-2.17.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f(x2);解由0£x2£1得

13、x

14、£1,所以函数f(x2)的定义域为[-1,1].(2)f(sinx);解由

15、0£sinx£1得2np£x£(2n+1)p(n=0,±1,±2×××),所以函数f(sinx)的定义域为[2np,(2n+1)p](n=0,±1,±2×××).(3)f(x+a)(a>0);解由0£x+a£1得-a£x£1-a,所以函数f(x+a)的定义域为[-a,1-a].(4)f(x+a)+f(x-a)(a>0).解由0£x+a£1且0£x-a£1得:当时,a£x£1-a;当时,无解.因此当时函数的定义域为[a,1-a],当时函数无意义.18.设,g(x)=exError!Nobookmarknamegiven.,求f[g(x)]和g[f(x)],

16、并作出这两个函数的图形.解,即.,即.19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角j=40°(图1-37).当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-37解,又从得,所以.自变量h的取值范围应由不等式组h>0,确定,定义域为.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;(3)某一商行

17、订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0£x£100时,p=90.令0.01(x0-100)=90-75,得x0=1600.因此当x³1600时,p=75.当100

18、n®¥时,xn=n(-1)n没有极限.2.设数列{xn}的一般项.问=?求出N,