同济大学高数期中参考答案.pdf

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1、参考答案一、填空选择题(每小题3分，共24分)二、计算下列各题(每小题6分，共36分)111.f(x)是区间I上的连续函数，则曲线yf(x)在区间I上上凹的定义是：对于arctanx21.计算极限lim()xe31x1x2x0x[f(x)f(x)]f()区间I上任意不同的两点x,x都有.1212222lnx12222.计算极限lim解lnxxxln[1(1)]~1x2x1xx21(x1)2x42.极限lim()exx213.计算函数y各个间断点的左右

2、极限，并说明这些间断点的类型.313.limnn2n1.4arctann2x3解limf(x)，x1是第二类（无穷）间断点.4.函数yarctanx22，则该函数在x1点的微分dydx.x1x11211limf(x)；limf(x)，x0是第一类跳跃间断点.dl1dAx03x05.在半径为r时，圆周长l的变化率为，此时该圆面积的变化率为1.dtrdt（x0处左右极限算错一项扣1分，全错扣3分）46.函数f(x)具有三阶连续导数，已知f(0

3、)2f(0)f(0)1以及f(0)1，如1ex23果要求一个三次多项式函数P3(x)a0a1xa2xa3x，使得当x0时4（A）叙述函数f(x)在区间I上一致连续的定义，说明函数f(x)1在1ex11213f(x)P(x)是x尽可能高阶的无穷小，则P(x)1xxx.33226区间(0,1]上一致连续.7（A）.下列哪个条件是数列x有极限的充分必要条件[D]解0,0,当、xxI且xx时，fx()()fx（2分）

4、n1A.0,N，当mnN时xx；nmxf(x)0x1e由于lim1存在（4分），因此F(x)在闭区间[0,1]上1x01x0B.0,N，当mnN,时xx；xnm1eC.0,N，当nN时xx；连续，所以一致连续，则f()x在区间(0,1)上一致连续.2nnD.0,N，当mnN时xx2.xarctantnm5.试求曲线在t1所对应点的切线与法线方程.2y2lntt8.f(x)在x0某领域内有定义，

5、则f(x)在x0点可导的充分条件是[A]22dy2(1t)解t1对应点(,1)导数A.limf(sinx)f(0)存在；B.limf(x)f(0)存在；4dxtx0xx0x切线方程y18(x)24f(x)f(x)f(x)f(0)C.lim存在；D.lim存在。1x0xx0x法线方程y1(x)84参考答案6.求曲线y(3xx)arctan的凹凸区间与拐点解f(1)3n切线方程y13n(x1)2112n1nx31x6x16x2截距x

6、n1极限lim[2(1)(1)]解yarctanx2y222223nn3n3n1x1x(1x)(1x)2nn2113n13n2lim(1)3nlim(1)3n2e3e3111101n3nn3n上凹区间(,]，上凸区间[,)，拐点(,arctan)33333六、(本题10分)函数f(x)在[0,)上连续，并且没有上界.证明43三、(本题10分)试求由xy2xy1所确定的函数yy(x)的微分dy，并求该(1,0)

7、（1）如果f(x)满足f(1)1则可以找到一列单调递增的x，使得f()xn；nn2dy函数的二阶导数.dx2（2）如果有数列x使得lim()fx，则limx.nnn(1,0)nn3322y4x证（1）记x11,有fx()11，解4x3yy2y2xy0y，dy2dx2(1,0)3y2xf(x)在[x,)上无上界，因此有y(x,)使得f(y)21212223(2y12x)(3y2x)(2y4x)(6yy2)yy23

8、2(1,0)由于f(x)在[x,y]上连续，由介值定理存在x(x,y)使得f(x)2(4y2x)1221221四、(本题10分)讨论常数k0为何值时，方程kx21在(0,)有唯一的实根.同理有x23x使得f(x3)3，x解由此依次得到一列单调递增的数列x满足f(x)n，nn226f(x)k0得唯一驻点x3，由于f(x)0，因此x是最小值点3040xkx（2）如果limx不成立，一定有一个闭区间[0,]A使