2013届高三数学二轮复习课件 专题7 第2讲 推理与证明

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1、1．能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．了解间接证明的一种基本方法：反证法．推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明是新课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透于其它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面．在历年的高考中，推理与证明有举足轻重的地位、选择题、填空题，解答题均有体现，考查方式主要是(1)给定命题的证明问题，证明方法高考中不单独命题，而是将其融合在诸如立体几何，解析几

2、何、函数、数列、不等式等内容中加以考查．(2)类比型问题．(3)归纳、猜想、证明问题(文科学生对数学归纳法不作要求)．1．合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳是由特殊到一般的推理．(2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)演绎

3、推理的定义根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(2)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真．(3)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过

4、逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：(3)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证

5、法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．[例1](2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其

6、称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378[答案]C[评析](1)归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．(2)在本例中，由①归纳出三角形数所具有的特点，由②归纳出正方形数具有的规律，只需代入验证即可．……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x

7、)＝f(fn－1(x))＝________.[分析]“观察、类比”是解决本题的基本思路，由于直线OE、OF在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某种“对称性”，观察直线OE的方程和题目中给出的直线OF的部分信息，它们的共性是y的系数一样，那就只有x的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答了．[例3]已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项