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1、数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+(2n-1)=，等.例1求．解：原式．由等差数列求和公式，得原式．变式练习：已知，求的前n项和.解：1－二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2求的和．解：设则．两式相加，得．三、裂项相消法常见的拆项公式有：，，，等.例3已知，求的和．解：，小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，，，…，，…的前n项和S.解：∵=）Sn===四、错位相减
2、法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.例4求的和．解：当时，；当时，．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a为常数)的前n项和。解：（1）若a=0,则Sn=0（2）若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=（3）若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan，∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=∴Sn=当a=0时，此式也
3、成立。∴Sn=五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例5求数列，的前项和．．变式练习：求数列的前n项和解：数列求和基础训练1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝2.设，则＝.3..4.=5.数列的通项公式，前n项和6.的前n项和为数列求和提高训练1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则(A)A．B．C．D．解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，∴利用叠加法得到：，∴，∴．2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1
4、，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于(B)A．100B．85C．70D．55解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3则数列{}也是等差数列，并且前10项和等于：答案：B.3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于(A)A.B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+7)3．解：因为an=n2-n.，则依据分组集合即得.答案;A.4．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于(A)A.1B.-1C.0D.2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即
5、：Sn=答案：A5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为(A)A.978B.557C.467D.979解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.答案：A6.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(A)( )A．15B.12C．－12D.－15解析A 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，
6、所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为解：设此数列{an},其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001.答案:8．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.解：原式=答案：9．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第
7、二、三、四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立．求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．解：(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0)解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n－1(2)当n＝1时，c1＝3；当n≥2时，由，得cn＝2·3n－1，故故c1＋c2＋c3＋…＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32015．10.设数列{an}为等差数列，Sn为数
