第1讲(排列及其逆序数)

《第1讲(排列及其逆序数)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数1、《线性代数》陈治中科学出版社4、《线性代数思想方法与学习指导》赵晶天津大学出版社2、《线性代数》居余马清华大学出版社参考书：3、《线性代数》赵树嫄中国人民大学出版社关于作业：每周交一次，按学号分单、双号交；即第二周双号交,第三周单号交，依此类推。第一章行列式主要内容：n阶行列式的定义、性质及计算方法Cramer法则用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式1、引入第一节二阶与三阶行列式两式相减消去，得类似的，消去，得方程组的解为由方程组的四个系数确定.当时，2、定义称记号为二阶行列式。主对角线副对角线3、计算（对角线法则）行标列标若记对于二元线性

2、方程组系数行列式记记则二元线性方程组的解为系数行列式系数行列式今有牛五羊二，值金十两，牛二羊五，值金八两，问牛羊各值几两？例1解：牛羊分别值两，得1、定义二、三阶行列式我们用记号称为三阶行列式。2)沙路法2、计算1)对角线法则以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.解按对角线法则，有例2求行列式解按对角线法则，有例3求解方程所以若系数行列式3、三元线性方程组则例4解线性方程组解由于方程组的系数行列式为且同理可得故方程组的解为:猜想:???一、排列与逆序1、排列的定义由数１、２、…、ｎ组成的所有ｎ级排列共有个.由数１、２、…、ｎ组成的一个有序数组，称为第二节

3、排列及其逆序数一个ｎ级排列，标准排列：所有ｎ级排列中从小到大的一个排列.一般形式为.例排列３２５１４中，2、逆序的定义32514逆序逆序逆序逆序逆序分析的逆序数.则称这两个数组成一个逆序.中，若数在一个排列前面并且比大的元素的个数称为元素排在逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.1）２１７９８６３５４一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数,解：故此排列为偶排列.217986354501304401记为当时为偶排列；当时为奇排列.解：0122）计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.分析当为

4、奇数时，该排列为奇排列.当为偶数时，该排列为偶排列；思考：求排列逆序数的思路排列中比每一元素大的且排在前面的元素个数的总和，即是这个排列的逆序数.排列中比每一元素小的且排在后面的元素个数的总和，也是这个排列的逆序数.例2求下面排列的逆序数，并确定奇偶性.解1）从前往后求排在元素前面且比元素大的数的个数，然后求和.2）从后往前求排在元素后面且比元素小的数的个数，然后求和.特别地：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.1、定义二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换.例1）2）2、对换与排列的奇偶性的关系定理1任一排列经过

5、一次对换后必改变其奇偶性.证明：设排列为1）易见除外，其它元素的逆序数不改变.若对换对换后，的逆序数不变，而的逆序数减1；若对换后，的逆序数增1，而的逆序数不变.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为2）对换次相邻对换所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.次相邻对换欲即次相邻对换推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.定理2ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ级排列,其中奇、偶排列各占一半.证明:设共有ｓ个奇排列,ｔ个偶排列，现证ｓ＝ｔ.故必有奇排列偶排列，所以前两个数对换ｓ个ｓ个偶排列奇排列，所以前两个数对换ｔ个ｔ

6、个1、概念的引入二阶行列式三阶行列式第三节n阶行列式的定义分析:（1）二阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的两（三）个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的两（三）个元素的下标排列．三阶行列式共有项，即项．例列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为偶列标排列的逆序数为奇负号正号负号猜想:???2、定义由个数组成n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和即：简记，数称为行列式的元素.其中为自然数的一个排列.例:利用定义计算行列式由以上例子及行列式的定义不难看出：1）、如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为

7、零，则此行列式的值必为零。2）、三角形行列式和对角行列式的值，均等于主对角线上各元素的乘积。说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、一阶行列式，不要与绝对值记号相混淆.作业P3:1(2,4)P5:1(1,4)