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1、第卷第期衡水师专学报,。」通馆段年月文章编号一《】一一排列及反序数徐常青衡水师范专科学校数学系,河北衡水摘要研互异数码排列的反序数的取值范围,确定反序数为的排列个数的取值范围,并讨论究个了可重复数码排列的情况关键词排列反序数重复排列分类号文献标识码,,⋯,,,,个数码的一个排列指的是由这个数码组成的一个有序组一般的在一个排列里,如果某,一个较大的数码排在一个较小的数码前面就说这两个数码构成一个。,。,二,⋯反序在一个排列⋯中出现的反序总数叫做这个排列的反序数记作有偶数个反序的排列叫做一个偶排列有奇数个反序的排列叫做一个奇排列如果把一个排列中任意两个
2、数码与互换位置而其余数码不动,那么就得到一个新的排列,对排列所施行,用,的这样一个变换叫做一个对换表示互异数码的排列及反序数‘〕命题个数码的不同排列共有司个‘。,,,,定理〔〕设⋯和⋯是个数码⋯的任意两个排列那么总司。。二以通过一系列对换由得出儿⋯定理川每个对换都改变排列的奇偶性定理,,各为个川时个数码的奇排列与偶排列的个数相等尽‘我们在此基础上对反序数做进一步研究有二,,,⋯,定理设是个数码的任一排列一。二⋯镇镇,,生如二业并且个数码的反序数可取到一,八内的任一值乙二⋯。,,证明由定义知在⋯中任取两个数有代种取法故一一收稿日期作者简介徐常青于一,
3、女,河北深州市人,衡水师专数学系讲师,在读博士徐常青排列及反序数一。个排列中任两个数均构成反序时反序数为而⋯中任取两个数可能为反序亦可、一。,,,,一,⋯三故,⋯劝能顺序从而有二匆场别下可以构作区立二功个排列,使冬反序数取遍,泛中的排一个值,,⋯,,,反序个数码为自然顺序讨数为从二。开始,将依次与其后数码对换,何对换一次得到一个新的排列,直到将,,,,,,,,,一⋯按顺序对换到后为止这样可得个排列其反序数依次为··⋯,,,,一,,,由上得反序数为从⋯⋯开始按卜而规则将与其后面数码对,,,,,,,,,,,,一月一换直至对换到后为止得个新排夕」其反序数
4、依次为曰最后所得排列为,⋯,,按上而规律进行卜去,直至得排列,,,,,卜己,一,一··,一,,,,,⋯然按规则每对换次得新排列反序数增加直到反序数为二一,恤全即如上构作的排列其反序数取遍州普叭肋协个他,,任的排列存在刀仔么反序数为定理证明了反序数为走的排列个数有多少呢我们给出下助一个粗略估计,走八、,办〔定理个数码的排列中反序数为的灭仃排列个数记为则簇砚改一一证明记。,为数与大二的数在一排列中形成的反序数,,,,二,,⋯,,了,则很,‘,⋯然对工一排列有一一一二⋯,二之,‘一⋯十、。鸳,以记法知毛,故反序数为冷的排列应满足、、、·一石十主,、二⋯走
5、、,,,,,。均妻⋯,、走一,而该方程的整解个数为己从而有︸甘、一一、,一,,,〔寿、‘。⋯⋯几‘,一,毛东、再由定理知妻八。,无一所以镇己由定理中记法一于的数在一排列中形成的的反序数东、一可知与大与大于二。一的数在一排列中形成的反序数毛与大于的数在一排列中形成的反序数一右,,一,,,⋯,成这样我们可以得到定理的一个改进定理反序数为的排列个数的上界小于等于下述不定方程的整解个数去汗。一工十⋯⋯二一,二、一,⋯⋯,二,一,⋯⋯,不,,一其中蕊簇毛镇毛钱镇事实上,上述所有结论对于任意,,个互异实数的排列均成立设。,,。,⋯,‘为、,,··】于⋯,个互异
6、实数规定其自然顺序为从小到大并按这一顺序建守与的一个一一对,,,⋯⋯,呜,应可得上述结论对于这个互异实数的排列均成立衡水师专学报第卷第期任意个数码的排列下面我们考虑更一般的情况给定任意个可重复数码的排列所具有的性质设⋯⋯,个,个,⋯⋯,个其中⋯,任,,,⋯,,叫做这个习组成的一个有序组可重复数码的一个排列同上可定义个可重复数码的排列的反序数及奇排列、偶排列个可重复数码排列的一个对换指的是将排列的中任意两个不同的数码与互换,而其余数码不动,那么就得到一个新的排,,,,,,列对排列所施行的这样一个变换叫做一个对换用编表示其中分别表示,在原排列中的位置因
7、为任给个数码的,一个排列排列中出现重复数码的情形比较多见,故我们有必要研究个可重复数码排列的一些性质为了方便我们用可重集·,,,,,,,“倪,乙灸表示含个个⋯⋯个的集合则上述排··。,,,,,⋯十任⋯列即变为,的全排列其,·,·〕’⋯,走个命题拼的全排列共有一二一件二’”一”中十⋯、,、任,二,,⋯,·,·,,·,⋯左命题的任一全排列可经过一系列对换化为自然顺序即递增排序排列,在命题该证明显然的基础上仿「〕中证法可得。。·,·,,·定理设班⋯和⋯是。⋯二。无的任意两个全排一,、。列那么总可以通过一系列对换由⋯得出⋯我们由定理知每个对换都改变个互异数
8、码,的排列的奇偶性但对于个可重复数,显然二,,码的排列该命题不成立如排列即为偶排列施以对换,得新排列,,所以仍为偶排列,即
