第7章 点 运 动

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1、运动学引言运动学：从几何的角度来研究物体的运动。即研究物体运动的几何性质，而不考虑引起运动的原因。运动方程、运动轨迹、速度、加速度参考系瞬时、时间间隔确定运动特征的量：1第7章点的运动例题§7-1矢量法§7-2直角坐标法§7-3自然法2§7-1矢量法运动方程速度矢径矢端曲线切线单位m/s速度（定义）3加速度速度矢端曲线切线加速度（定义）单位4直角坐标与矢径坐标之间的关系运动方程§7-2直角坐标法0Mzyxxyz5速度6加速度7§7-3自然法弧坐标1副法线单位矢量切向单位向量主法线单位矢量自然轴系2自然轴系：以动点M为原点，切线、主法线、副法线为轴组成的

2、正交坐标系称为自然坐标系。8自然坐标轴的几何性质密切面法面9曲率：曲线切线的转角对弧长的一阶导数的绝对值。曲率半径：曲率的倒数103速度4加速度代入则11切向加速度法向加速度曲线匀速运动常数曲线匀变速运动常数12椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M的轨迹方程。ACByOxMxy已知:例题1点的运动例题13ACByOxMxy考虑任意位置，M点的坐标x，y可以表示成消去上式中的角φ，即得M点的轨迹方程:解:例题1点的运动例题14例题1点的运动例题演示轨迹15例题1

3、点的运动例题思考题：M点的轨迹是什么曲线？16例题1点的运动例题轨迹演示17xyOACBl曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且l>r，角=ωt，其中ω是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。例题2点的运动例题18考虑滑块B在任意位置，由几何关系得滑块B的坐标将φ=ωt代入上式得*令λ=r/l，将上式的根式展开，有解:例题2点的运动例题19略去λ4以及更高阶项，并利用关系滑块B的速度和加速度为例题2点的运动例题则可表示为20如图凸轮绕O轴匀角速转动，使杆AB上升。欲使杆AB匀速上升，凸

4、轮上的CD段轮廓线应是什么曲线？BDACRφρ例题3点的运动例题21以凸轮为参考系，取极坐标研究杆上A点的运动。根据题意有设C点为动点A在t=0时的初始位置，于是得以极坐标表示的A点相对于凸轮的运动方程消去时间t，得A点在凸轮上的轨迹方程上式为阿基米得螺旋线。BDACRφρ解：例题3点的运动例题22飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例题4点的运动例题23OM0Mr(-)s(+)v0vatan

5、a解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用自然法求解。取M0为弧坐标s的原点，s的正负方向如图所示。当t=5s时，飞机的位置M可由弧坐标确定先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度例题4点的运动例题24OM0Mr(-)s(+)v0vatana故在这瞬时飞机的总加速度a的大小和方向为α代入t=5s得例题4点的运动例题25半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。OHCDMxyφ

6、例题6点的运动例题26OAHBCDMxyφ在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴x沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴y铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH。于是，在图示瞬时动点M的坐标为解：1.求M点的运动方程。例题6点的运动例题27这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间T=2π/ω，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。OAHBCDMxyφP以代入，得M点的运动方程例题6点的运动例题对E28求坐标x，y对时间的一阶导数，得故得M点速度v的大小和方

7、向，有M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。OAHBCDMPxyφ2.求M点的瞬时速度。v例题6点的运动例题29求vx，vy对时间的一阶导数，得故得M点加速度a的大小和方向，有x=0,y=0;当t=0时，有这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。OAHBCDMPExyφa3.求M点的瞬时加速度。例题6点的运动例题30试求例6中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。OHCDMxyφPav例题7点的运动例题31解：因而它的切向加速度注意，当时，而当时，；两者相差一个负号。在

8、以后，M点进入另一个滚轮环，这里出现尖点，运动方向发生突然逆转，由突变为。OHC