高等数学习题详解-第9章 无穷级数

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1、习题9-11.判定下列级数的收敛性：(1);(2);(3);(4);(5);(6)．解：（1），则，级数发散。（2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。（3），则，级数发散。（4）因而不存在，级数发散。（5）级数通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。（6）级数通项为，而不存在，级数发散。2.判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1)；(2);(3);(4)．解：（1）因为所以该级数的和为即（2）由于，则所以该级数的和为即（3）级数的通项为，由于，不满足

2、级数收敛的必要条件，所以原级数发散。（4）由于因而不存在，原级数发散。习题9-21.判定下列正项级数的敛散性：(1);(2)；(3)(a＞0);(4)；(5)；(6);(7);(8)；(9)；(10);(11);(12)．解：（1）由于，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（2）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（3）若，通项，级数显然发散；若，有，不满足级数收敛的必要条件，级数发散；若，有，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（4）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（5）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（6）

3、通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（7）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（8）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（9）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（10）通项，则，所以由根值判别法知，级数收敛。（11）由于，而级数收敛，由比较判别法推论知级数收敛。（12）对于级数，因为，由比值判别法知级数收敛；由于，而级数收敛，由比较判别法知，级数收敛。习题9-31.判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1);(2);(3);(４);(5)；(6);(7);(8)(0＜x＜π)．解：（1）这是一个交

4、错级数，,且，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散，故条件收敛。（2）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（3）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（4）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（5）由于级数和级数都绝对收敛，所以绝对收敛。（6）当n充分大时，除去级数前面有限项，这是一个交错级数，,且有，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散（），故条件收敛。（7）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（8）因为，当时，，故得到所以级数的部分和数列当时有界，而数列单调递减趋于零，由狄利克雷判别法推得级数收敛。2.设级数及都收敛，证明级数及也都收敛

5、．证：由于级数及都收敛，则级数收敛。因为，所以由比较判别法知级数收敛，即级数绝对收敛。习题9-41.求下列幂级数的收敛域：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．解：（1）因为，故收敛半径当时，原级数显然发散。因此，原级数的收敛域为。（2）因为，故收敛半径。当时，原级数为，由于，即，级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时，原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。因此，原级数的收敛域为。（3）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）令，则，于是，

6、当，即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数发散；故原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（6）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。2.求下列幂级数的和函数：(1)；(2)．解：（1）所给幂级数收敛半径为，收敛区间为。因为，在区间内成立，则所以。（2）3.求下列级数的和：(1)；(2)．解：（1）由于则

7、。所以（2）因为所以。习题9-51.将下列函数展开成x的幂级数：(1);(2)；(3);(4)；(5)．(6)解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）因为；而所以2.将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1)，在x0＝１；(2)cosx,在x0=;(3)，　在x0=1;(4)，在x0＝３．解：（1）；（2）（3）（4）因为；所以习题9-61．利用幂级数的展开式求下列各数的近似值：(1)(误差不超过0.0001)；(2)ln3(误差不超过10-4)；(3)(误差不超过10-5).解：（1）由二项展开式，，取可得.取前两项的和作

8、为的近似值，其误差为故取近似值为（2）由于.令,解出，以代入上面的展开式,得，取前六项作为的近似值，则误差为所以。（3）由于；则，取前两