第10章无穷级数习题详解

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1、第十章无穷级数习题10-11.写出下列级数的前五项：(1)(2)导1・3…(2/7-1)(2n)00E71=1(-1严10/2(4)00n(1)12345~T~T~TT~73242526272(2)丄+竺+仝+12斗上2空2+・・・22-42-4-62-4-6-82・4・6・8・10(3)10F20304050(4)1!2!3!4!5!+T+Q+1+V+21324’546、2.写出下列级数的一般项:11—+—+—••2461aa2a3(2)——++++…；1-53-75-97-1135791113]49162536XXXy[x

2、X2解（1）-—++——:——++…(%>0).22-42462・468因为—=,—二，—21242-261占…’因此一般项血w（2）因为11-5(2・1—1)・(2・1+3)a_a3^7~(2-2-l)«(2«2+3)2—=因此一燉项”5-9(2・3—1)・(2・3+3)a2an~](2n-l)(2n+3)(3)因为_3(^1),511-14因此-般项知=(-1)"(加+1)2(2-2+1)22(-1)3(2・3+l)32（4）因为五上,21-2n22x^fx2-42・42-4-62-4-6HX2因此一般项un==2-4-6(

3、2h)3.判定下列级数的敛散性：00工(厶+1-4n)=1111…；1-22-3n(n+1)•兀.2兀・斤兀sin—+sin——+…+sin——+…；66600J〃+2—2Jaz+1+y/~n);(1)(3)(4)(5)nx22"(1・2・3……n)25!(2)£⑵?—1)(2〃+1)(6)丄+刍+厶+刍+…;3V3V3V3(7)z11、++()+•••;3"2"2/:-1111…；3579--£(2"换-2”妬)n=11++1+-(1+-)212解(1)因为(8)(9)(10)In+111….(1+扑(1+丄)"3nS

4、n=(V2-VT)+(a/3—V2)+(V4—V3)+•••4-(Vn+—y/~n)=n+—Vl"当T00,故级数发散.（2）因为S”1F1-33-55-7L+-L+…+冷（q）+GV）+…（若越当200时，S”#,故级数收敛.（3）因为1_11—9n(n+1)nn+1L2+2^3+F4+，，+«(71+1)=(1-*)+(*-》+…(丄-斗)=1--^当〃Too时，一>1,故级数收敛./、

5、-p

6、、jg•7C・2?T・3兀•MTt(4)因为Sn=sin—+sin—+sin—+・・・+sin—"66661•兀•兀r•兀•27

7、1r•兀•3兀r•71〃兀、=(2sin—sin—+2sin—sin2sin—sin—+•••+2sin—sin——)c•兀1261261261262sin——121兀3兀、z3兀5兀、z2n-12〃+1、==[(COSCOS—)+(COSCOS—)+…+(COS71-COSK)]c•兀1212121212122sin——121r兀(2〃+1)71=coscos-c•兀12122sin——12由于limcos印也兀不存在，所以limS”不存在，因而级数发散.12…“(5)因为Jm+2一2丁m+1+=(Jzz+2_+1)—(Ja

8、z+1一y[n)Sri=[(V3-V2)-(V2-1)+(V4—5/3)-(V3-V2)+(V5—V4)—(V4—V3)+•••+(J兄+2-J〃+l)-(厶+1-Vn)]=(V^+2-V^+T)-(V2-l)=-7—_-(V2-1)血+2+"+1⑹该级数的一般项仏当"T00时，S”T1-血，故级数收敛.tIhO(ht00),故山级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(7)…8]18]1，丄该级数为公比q=-

9、数的一•般项化===11H0SToo),故山级数收敛的必要条'2/?+12〃+1件可知，该级数发散.（nToo），故由级数收敛的必⑼因为S“=（亦一。）+（咖一亦）+・・・+（2〃换一2”扬）=2”需'一。当n->oo时，s”T1一a，故该级数收敛.（10）该级数的一般项知=———（1+丄）”n耍条件可知，该级数发散.4.证明下列级数收敛，并求其和：111111•….1-44-77-10（3〃一2）（3〃+1）证S”=丄+丄+—!—+•••+i1-44-77-10(3n—2)•⑶7+1)34473n-23/t+133n+1当20

10、0时，故该级数收敛，Haoco005.若级数%与D都发散时，级数工（£±匕）的收敛性如何？若其中一个收敛，一n=l”=】n=]oo个发散,那么，级数工（£±叫）收敛性又如何?n=l解若级数分别为00工知=1—1+1—…+（—1）2+…；（发散）/:=

11、00为叫=