习题详解-第9章无穷级数

习题详解-第9章无穷级数

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1、习题9-11.判定下列级数的收敛性:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1),则,级数发散。(2)由于,因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数,而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性,所以原级数发散。(3),则,级数发散。(4)因而不存在,级数发散。(5)级数通项为,由于,不满足级数收敛的必要条件,原级数发散。(6)级数通项为,而不存在,级数发散。2.判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和:(1);(2);(3);(4).解:(1)因为所以该级数的和为即(2)由于,则所以该级数的和为即(3)级数的

2、通项为,由于,不满足级数收敛的必要条件,所以原级数发散。(4)由于因而不存在,原级数发散。习题9-21.判定下列正项级数的敛散性:(1);(2);(3)(a>0);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12).解:(1)由于,而级数收敛,由比较判别法知收敛。(2)因为,而p-级数收敛,由比较判别法的极限形式知收敛。(3)若,通项,级数显然发散;若,有,不满足级数收敛的必要条件,级数发散;若,有,而级数收敛,由比较判别法知收敛。(4)因为,而p-级数收敛,由比较判别法的极限形式知收敛。(5)通项,

3、则,所以由比值判别法知,级数发散。(6)通项,则,所以由比值判别法知,级数发散。(7)通项,则,所以由比值判别法知,级数收敛。(8)通项,则,所以由比值判别法知,级数收敛。(9)通项,则,所以由比值判别法知,级数收敛。(10)通项,则,所以由根值判别法知,级数收敛。(11)由于,而级数收敛,由比较判别法推论知级数收敛。(12)对于级数,因为,由比值判别法知级数收敛;由于,而级数收敛,由比较判别法知,级数收敛。习题9-31.判定下列级数是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛:(1);(2);(3);(4);(5)

4、;(6);(7);(8)(0<x<π).解:(1)这是一个交错级数,,且,.由莱布尼兹判别法知收敛.但发散,故条件收敛。(2)由于,而级数收敛,所以收敛,故绝对收敛。(3)由于,而级数收敛,所以收敛,故绝对收敛。(4)由于,而级数收敛,所以收敛,故绝对收敛。(5)由于级数和级数都绝对收敛,所以绝对收敛。(6)当n充分大时,除去级数前面有限项,这是一个交错级数,,且有,.由莱布尼兹判别法知收敛.但发散(),故条件收敛。(7)由于,而级数收敛,所以收敛,故绝对收敛。(8)因为,当时,,故得到所以级数的部分和数列当时有界,而数列单调

5、递减趋于零,由狄利克雷判别法推得级数收敛。2.设级数及都收敛,证明级数及也都收敛.证:由于级数及都收敛,则级数收敛。因为,所以由比较判别法知级数收敛,即级数绝对收敛。习题9-41.求下列幂级数的收敛域:(1);(2);(3);(4).(5);(6).解:(1)因为,故收敛半径当时,原级数显然发散。因此,原级数的收敛域为。(2)因为,故收敛半径。当时,原级数为,由于,即,级数不满足级数收敛的必要条件,因此原级数发散;当时,原级数为,同样不满足级数收敛的必要条件,原级数发散。因此,原级数的收敛域为。(3)因为,故收敛半径。当时,原

6、级数为,此时原级数收敛;当时,原级数为,此时原级数收敛。因此,原级数的收敛域为。(4)令,则,于是,当,即时,原级数绝对收敛;当,即时,原级数发散;故原级数收敛半径为。当时,原级数为,此时原级数收敛;当时,原级数为,此时原级数收敛。因此,原级数的收敛域为。(5)因为,故收敛半径。当时,原级数为,此时原级数发散;当时,原级数为,此时原级数收敛。因此,原级数的收敛域为。(6)因为,故收敛半径。当时,原级数为,此时原级数发散;当时,原级数为,此时原级数收敛。因此,原级数的收敛域为。2.求下列幂级数的和函数:(1);(2).解:(1)

7、所给幂级数收敛半径为,收敛区间为。因为,在区间内成立,则所以。(2)3.求下列级数的和:(1);(2).解:(1)由于则。所以(2)因为所以。习题9-51.将下列函数展开成x的幂级数:(1);(2);(3);(4);(5).(6)解:(1);(2);(3);(4);(5)(6)因为;而所以2.将下列函数在指定点处展开成幂级数,并求其收敛区间:(1),在x0=1;(2)cosx,在x0=;(3), 在x0=1;(4),在x0=3.解:(1);(2)(3)(4)因为;所以习题9-61.利用幂级数的展开式求下列各数的近似值:(1)(

8、误差不超过0.0001);(2)ln3(误差不超过10-4);(3)(误差不超过10-5).解:(1)由二项展开式,,取可得.取前两项的和作为的近似值,其误差为故取近似值为(2)由于.令,解出,以代入上面的展开式,得,取前六项作为的近似值,则误差为所以。(3)由于;则,取前两

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