12 矩阵qr分解

《12 矩阵qr分解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十一讲矩阵的QR分解一、Givens矩阵与Givens变换1.定义：设实数c与s满足，称()为Givens（吉文斯）矩阵（初等旋转矩阵），也记作.由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens变换（初等旋转变换）.★说明：（1）实数，故存在，使.（2）中确定了将向量变成的一种变换，正是Givens变换.二阶情况下，确定的正是平面直角坐标系中绕原点的一个旋转变换（按顺时针方向旋转角）.（3）以上实Givens矩阵也可推广成为复初等旋转矩阵.其中与仍为满足的实数，为实角度，.显然，；当时，；当时，.2.性质（1）,

2、,（即旋转度再反向旋转度，就可还原），.（2）设，，则有当时，总可以选，，使定理1设，则存在有限个Givens矩阵的乘积，使得.☆说明：（1）(为实向量时)；（为复向量时）；（2）.证：先考虑的情形：（1）构造，.（2）对再考虑，（3）依此类推，构造，（）直至.令，则有.再考虑的情形：若，则从第一个不为零的开始运用上述方法即可.证毕.推论：对于任何非零列向量及任何单位列向量，均存在着有限个Givens矩阵的乘积，使.证：由上述定理，对存在有限个Givens矩阵的乘积，使.对同理存在有限个Givens矩阵的乘积，使，，

3、即其中为有限个Givens矩阵的乘积.证毕.例1.用Givens变换将向量变换为与同方向.解：对构造，则，对构造，则于是.例2.用Givens变换将向量变换为与同方向.解：对构造，则，对构造，则于是.二、QR分解1.定义：如果实（复）非奇异矩阵可化为正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵的乘积，即，则称上式为的分解.2.求分解的方法（1）Gram-schmidt正交化方法:定理2.设是阶非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵使得，且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯

4、一.证：设记为，由非奇异线性无关.采用Gram-schmidt正交化方法将它们正交化：先对正交化，可得其中,[]将上式改写为再对单位化，可得，即.用矩阵形式表示为其中是正交（酉）矩阵是实（复）上三角矩阵唯一性:采用反证法。设存在两个QR分解，，则式中仍为实非奇异上三角矩阵.于是（）为正交矩阵（酉矩阵）.于是故，D只能为对角阵，且D是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵.这一证明方法可推广为：定理3.设是的实（复）矩阵，且其个列线性无关，则具有分解其中是实（复）矩阵，且满足，是阶实（复）非奇异上三角矩阵.该分解除了相差一

5、个对角元素的绝对值（模）全为1的对角矩阵因子外，上述分解唯一.例3.使用Schmidt正交化方法求矩阵的分解.解：令，先正交化：，在单位化：，于是，，，，.