资源描述：
《矩阵的QR分解_冯天祥.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、西南民族学院学报·自然科学版第27卷第4期Nov.2001JournalofSouthwestUniversityforNationalities·NaturalScienceEdition文章编号:1003-2843(2001)04-0418-04矩阵的QR分解12冯天祥,李世宏(1.重庆三峡学院,重庆万州404000;2.重庆师范学院,重庆400000)摘要:给出了用矩阵的Doolittle分解实现矩阵A的QR分解的一种方法,并给出了具体的算法,以便于用计算机实现矩阵的QR分解.关键词:矩阵分解;Doolittle分解;QR分解中图分类号:O15
2、1.21文献标识码:A在矩阵计算中,矩阵的QR分解通常是用Householder变换或Givens变换或Gram-Schmidet正交化方法来实现的.文[1]给出了用初等列变换实现矩阵的QR分解的一种方法,但不便于计算机实现.本文介绍一种用A′A矩阵A′A的Doolittle分解式实现矩阵A的QR分解的方法,并给出了具体的计算步骤和算法,便于计算机实现.同时给出了数值例子.m,n如果A∈R是列满秩矩阵,则A′A对称正定,因而A′A有唯一的三角分解式:A′A=LDL′(1)[2]其中L是单位下三角矩阵,D是对角元全为正数的对角矩阵.A′表示矩阵A的转置
3、.在此基础上,我们有α1α2-1-1定理矩阵LA′=是行正交的.且对矩阵(DL′,LA′)的第i行除以αi的模αi后得矩阵…αn(R,Q′),则A=QR.其中Q具有正交规范列,R是非奇异上三角矩阵.1定理的证明由(1)得d1d2-1-1LA′A(L′)=D=,di>0(i=1,2,…,n)…dn-1-1(LA′)(LA′)′=D′α1α1d1α2α2=d2……dn…αnαnαiαi′=di,i=1,2,…,n(2)αiαj′=0,(i≠j,i,j=1,2,…,n)收稿日期:2001-06-05作者简介:冯天祥,男,重庆三峡学院讲师.第4期冯天祥等:矩
4、阵的QR分解419-1LA′行正交.α1α1-1-1-1α2α2第i行除以
5、αi
6、(DL′,LA′)=(LA′A,LA′)=A,※……αnαn(Q′A,Q′)=(R,Q′)Q′A=R(3)α1α2-1LA′=满足(2),αi=di(i=1,2,…,n),所以Q具有正交规范列,即QQ′=I.…αn由(3)A=QR,且R是非奇异上三角矩阵.注1具体分解时只需要A′A的Doolittle分解式:A′A=LU(4)其中L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵.注2αi=uij,uij(i=1,2,…,n)为U的对角元.事实上,记DL′=U,则U是非奇异上三角矩阵,
7、U的对角元uii恰为D的对角元di(i=1,2,…n).而最后-1得A的QR分解式是对矩阵(U,LA′)的第i行除以αi即uii(i=1,2,…,n)而得到的.3实现矩阵A的QR分解的计算步骤和算法m,n(1)输入矩阵A=(αij)∈Ri=1,2,…mj=1,2,…,n输入αij(2)计算C=A′Ai=1,2,…,nj=1,2,…,nmcij→∑αkiαkjk=1(3)实现矩阵C的Doolittle分解式:A=LU(L是单位下三角矩阵,U为上三角阵)i=1,2,…,nj=i,i+1,…,ni-1uij→cij-∑likukjk=1j=i+1,i+2,
8、…,ni-1lji→(cji-∑ljkuki)+uiik=1lii→-1-1(4)求P=L(单位下三角阵)420西南民族学院学报·自然科学版第27卷i=1,2,…,npij→1j=1,2,…,i-1i-1pij→-lij-∑piklkjk=j+1n,m(5)求M=PA′∈Ri=1,2,…,nj=1,2…,mimij→∑pikαjkk=1(6)记ti=uii(i=1,2,…,n),则m11/t1m21/t2…mnt/tnu11/t1u12/t1…u1n/t1m12/t1m22/t2…mn2/tnu22/t2…u2n/t2Q=,R=……………m1m/t1
9、m2m/t2…mnm/tnunm/tn3数值例子210例1将A=131作QR分解.014解2102105511551A′A=131131=5117=116601401417171/51154/5-11210121021011131=-11131=-1211/5110143/5-110143/5-6/53故矩阵A的QR分解式为:2/5-1/61/30551/5A=1/52/6-2/306601/65/30330/51223例2将A=作QR分解.3445解12123423304013040A′A===23453440544/312/345第4期冯天祥等:
10、矩阵的QR分解421′12-1123112341234==4/3134-4/3123452/31/30-1/
