资源描述：
《矩阵的QR分解论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.符号与引言21.1符号说明21.2引言32.基础知识32.1Givens矩阵和Givens变换32Householder矩阵和Householder变换5矩阵的QR（正交三角）分解83.1QR分解的概念83.2QR分解的实际求法113.2.1Givens变换方法113.2.2Householder变换方法154.QR分解的应用174.1QR分解在线性方程组中的应用171.1线性最小二乘问题174.1.2最小二乘解与QR方法18Schur引理194.3有关矩阵与Hessenberg矩阵正交相似的问题20参考文献23致谢错误!未定义书签。矩阵的
2、QR分解董田田（数学与信息学院数学与应用数学2008级数本4班20082111926）摘要：QR分解是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵的乘积，本文介绍了矩阵的QR分解的几种方法：对矩阵的列向量进行标准正交化、Givens变换、Householder变换等方法.QR方法是近20年来求解各类最小二乘方问题和最优化问题的主要数学工具之关键词：Givens变换；Householder变换；矩阵的QR分解；方程的最小二乘解;Schur引理QRDecompositionofMatrixDongTiantian(20082111926Class4G
3、rade2008Mathematics&AppliedMathematicsSchoolofMathematics&Information)Abstract：QRdecompositionisdecomposingmatrixwillbeanormalorthogonalmatrixandtheproductofthetrianglematrix.ThispaperintroducesseveralmethodsoftheQRdecompositionofmatrix:standardizedorthogonaltomatrix'scolumn
4、vector,Givenstransformation,Householdertransformationandsoon.QRmethodisoneofthemainmathematicaltoolstosolveallkindsofOptimizationproblemsandtheleast-squareproblemsintherecent20years・Keywords：Givenstransformation;Householdertransformation;thematrixoftheQRdecomposition;theleas
5、t-squaresolutionstotheequation;Schurlemma1.符号与引言1.1符号说明R实数域R实数域上斤维向量空间r复数域上“维向量空间加实数域上mxn矩阵空间Cnxn复数域上mxn矩阵空间C(0,…,0,1,0,…,0)7’第厂个分量为1的基本列向量单位矩阵，加阶单位矩阵向量x与向量y的内积矩阵（或向量）A的转置AH矩阵（或向量）A的共純转置石detA平面中的旋转矩阵矩阵4的行列式刃昭（入,爲,…，人）"阶对角矩阵1.2引言矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积的形式，可分为三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解和J
6、ordan分解.这些分解在计算数学中都扮演着十分重耍的角色，尤其是以QR分解所建立的QR方法，已对数值线性代数理论的近代发展起了关键作用.QR分解是一种很重耍的矩阵分解，在数值线性代数中它有着广泛的应用，例如求解矩阵的特征值问题和超定线性方程组或欠定线性方程组的最小二乘问题等.而H在很多的生活问题，如图像压缩处理、流体力学、工程力学、结构分析等问题的解决过程中，有吋需耍对某些特姝类型的矩阵进行QR分解，因而研究某些特姝矩阵的QR分解的算法是有重耍意义的.1.基础知识2.1Givens矩阵和Givens变换我们知道，在平面集合用屮，使向量x顺吋针
7、旋转角度a角度后变为向量y,可以记这个旋转变换为则cos"sin。T=一sin。cos0cos0sin&y-=Tx"-sin0cos0由于旋转变换不改变向量的模，所以它是正交变换，故卩是正交矩阵，且det7=1.定义1.1⑵一般的，在n维欧儿里得空间尺中，令gjg是它的一个标准正交基，设实数c与S满足c2+?=l,称「1-S[1][j](/)(iv丿)(7)1(2.1.1)为初等旋转矩阵或吉文斯(Givens)矩阵，记作T-.=T{c,s).由Givens矩阵确定的线性变换称为初等旋转变换或吉文斯(Givens)变换.可以验证，当c2+?=1
8、吋，存在角度使得c=cos&,s=sin&.对应的Givens矩阵有以下性质：性质1C1]Givens矩阵是正交矩阵，且[爲(c,s)]1=[爲(c,
