常微分方程 §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程需解决的问题6/12/2021常微分方程§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法6/12/2021常微分方程一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题6/12/2021常微分方程(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列6/12/2021常微分方程(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)6/12/2021常微分方程这是为了即6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果

2、一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程6/12/2021常微分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即6/12/2021常微分方程反之故对上式两边求导,得且6/12/2021常微分方程构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注6/12/2021常微分方程命题2证明:(用数学归纳法)6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为6/12/2021常微分方程对级数(3.9)的通项进行估计6/

3、12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有6/12/2021常微分方程现设命题4证明:6/12/2021常微分方程即6/12/2021常微分方程命题5证明:由6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.6/12/2021常微分方程一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题6/12/2021常微分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题26/12/2021常微分方程命题3命题4命题56/12/2021常微分方程2存在唯一性定理

4、的说明6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件6/12/2021常微分方程三近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里6/12/2021常微分方程注:上式可用数学归纳法证明则6/12/2021常微分方程例1讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)6/12/2021常微分方程6/12/2021常微分方程例2求初值问题解的存在唯一区间

5、.解6/12/2021常微分方程例3利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为6/12/2021常微分方程其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为6/12/2021常微分方程作业P781,3,4,86/12/2021常微分方程