一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法

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1、常微分方程教程第三章信计09级 一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。定义1 如果存在常数，使得不等式 对于所有 都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。定理3.1如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件 (3.1.1.3)这里，。　　我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。为简单起见，只

2、就区间来讨论，对于的讨论完全一样。现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。10常微分方程教程第三章信计09级否则,我们又把代入积分方程右端的，得到 ，如果，那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数   (3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上

3、面的函数序列有一个极限函数，即 存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到　　　　　　　　即，这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理1。10常微分方程教程第三章信计09级　命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程　　　　(3.1.1.5)的定义于上的连续解。反之亦然。　　证明 因为是

4、方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到      把(3.1.1.3)代入上式，即有   因此，是(3.1.1.5)的定义于上的连续解。　　反之，如果是(3.1.1.5)的连续解，则有     (3.1.1.6)微分之，得到，又把代入（3.1.1.6），得到。因此，是方程(3.1.1.1)的定义于 上，且满足初始条件(3.1.1.3)的解。命题1证毕。　　现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下： (3.1.1.7)　　命题2 对于所有的，(3.1.1.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式(3.1.1.8)。10常微分方程教程

5、第三章信计09级　　证明 当时，。显然在上有定义、连续且有 即命题2当时成立。现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数，命题2都成立。为此，设命题2当时成立，也即在上有定义、连续且满足不等式,这时,由假设,命题2当成立,知道在上有定义、连续且有 即命题2当时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有均成立。命题2证毕。　　命题3 函数序列在上是一致收敛的。　　证明 考虑级数　(3.1.1.9)它的部分和为因此，要证明函数序列在上是一致收敛，只须证明级数(3.1.1.9)在上一致收敛。为此，我们进行如下的估计。由(3.1.1.7)有  (3.1.1

6、.10)及利用利普希茨条件及(3.1.1.10)，得到10常微分方程教程第三章信计09级设对于正整数，不等式 成立，则由利普希茨条件，当时，有　　　　　　　　　　　　　　　　　于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有如下估计      (3.1.1.11)从而可知，当时，  (3.1.1.12)(3.1.1.12)的右端是正项收敛级数 的一般项。由维尔斯特拉斯(Weietstrass)判别法（简称维氏判别法），级数(3.1.1.9)在上一致收敛，因而序列也在上一致收敛。 命题3证毕。　现设 则也在上连续，且由(3.1.1.8)又可知。　

7、　命题4 是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。10常微分方程教程第三章信计09级　　证明 由利普希茨条件，以及在上一致收敛于，即知序列在上一致收敛于。因而，对(3.1.1.7)两边取极限，得到　即 ，这就是说，是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。 命题4证毕。命题5 设是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的一个连续解，则， 。　　证明 我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此，从， ，我们可以进行如下估计　　　　　　　　　　　　现设 ，则有　　　　　　　　　　　　　　　　故由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有

8、下面的估计式10常微分方程教程第三章信计09级   (3.1.1.13)因此，在上有    (3.1.1.14) 是收敛级数的公项，故时。因而在上一致收敛于。根据极限的唯一性，即