2013版高考数学一轮复习精品学案：8.5双曲线

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1、世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com2013版高考数学一轮复习精品学案：第八章解析几何8．5双曲线【高考新动向】1．考纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。（2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。（3）理解数形结合的思想。2．热点提示（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。【考纲全景透析】1．双曲线的定义（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：

2、①与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数2a.②2a

3、

4、。注：当2a=

5、

6、时，动点的轨迹是两条射线；当2a﹥

7、

8、时，动点的轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段的中垂线。2．双曲线的标准方程和几何性质第16页（共16页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com注：离心率越大，双曲线的“开口”越大。3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为，离心率，渐近线方程为【热点难点全析】三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方

9、程※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。2．求双曲线标准方程的方法第16页（共16页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数。注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：。※例题解

10、析※〖例〗已知动圆M与圆外切，与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程。思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。解答：设动圆M的半径为r则由已知。又（-4，0），（4，0），∴

11、

12、=8，∴<

13、

14、。根据双曲线定义知，点M的轨迹是以（-4，0）、（4，0）为焦点的双曲线的右支。（二）双曲线的几何性质※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形

15、、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的斜率与离心率的关系。如第16页（共16页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com注：（1）已知渐近线方程为则双曲线的标准方程为的形式，根据其他条件确定的正负。若>0，焦点在x轴上；若<0，焦点在y轴上。（2）与双曲线共渐近的双曲线方程为；与

16、双曲线共焦点的圆锥曲线方程为。※例题解析※〖例〗中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值。思路解析：设椭圆方程为，双曲线方程为→分别求a,b,m,n的值→利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得。解答：（1）由已知：，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则，解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为双曲线方程为。（2）不妨设分别为左右焦点，P是第一象

17、限的一个交点，则所以又，∴==第16页（共16页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com（三）直线与双曲线的位置关系〖例〗（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程解析：由得得（*）设方程（*）的解为，则有得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，由得（*）设方程（*）的解为，则，∴，且，∴，得或。方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则第16页（共16页）山东世纪金榜科教文

18、化股份有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com得：，∴，即，即（图象的一部分）注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力，所以成为高考的热点。在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于