自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨课件

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1、5-4频率域稳定判据控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于推广。Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出改善系统性能指标的途径。复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。1、奈氏判据的数学基础设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面上任意一点S，通过复变函

2、数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线Γ且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线Γ上任一一点A起，顺时针沿Γ运动一周，再回到A点，那么相应F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线ΓF。若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图5-39所示的映射关系。（1）、幅角原理图5-39s平面与F(S)平面的映射关系对于S平面内的任意一点d，都可以通过F(S)的映射关系在F平面上找到一个相应的点d′（d′是d的像）；对于S平面上任意一条不通过F(S)任何零点极点的闭合曲线Γ，也可以通过映射关系在F(S)平面上找到

3、一条与它相对应的曲线ΓF。设复变量S沿着闭合曲线Γ运动一周，研究F(S)相角的变化情况。S平面上的闭合曲线Γ如图5-40所示。复变函数F(s)右零点极点如图所示。当闭合曲线Γ上任一点S1沿顺时针方向转动一圈时，其矢量总的相角增量图5-40映射关系式中，P和Z分别是被闭合曲线Γ包围的特征方程函数F(s)的极点数和零点数。它表明，当s平面上的试验点s1沿闭合曲线Γ顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭合曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(S)在S平面的Z个零点和P个极点。当S以顺时针方向沿封闭曲线Γ

4、移动一周时，则在F平面上对应于封闭曲线Γ的像ΓF将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为：R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围F(S)平面的原点。（2）、复变函数F(S)的选择如图5-41所示结构图，其开环传递函数为图5-41控制系统结构图则B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数辅助函数也可以表示成零极点的形式因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于

5、或等于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均为n个。图5-42F平面与GH平面的关系图3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。Nyquist轨迹及其映射为将映射定理与控制系统稳定性的分析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线，称为Nyquist曲线。图5-43s平面上

6、的Nyquist轨迹Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚轴上的移动，在F平面上的映射就是曲线F(jω)(ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。F(jω)=1+G(jω)H(jω)Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径为∞的右半圆，映射到F平面上为F(∞)=1+G(∞)H(∞)图5-44F平面上的Nyquist曲线式中，Z——位于F(s)平面右半部分的零点数，即闭环右极点个数；P——位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极点个数；R——Nyquist曲线包围坐标原点的次数。闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即

7、Z=0或R=P。根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(jω)(ω从－∞→＋∞)包围坐标原点的次数R为R=P－Z例：分析下图映射关系（3）、S平面闭合曲线Γ的选择系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面闭合曲线Γ包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一零极点的条件，Γ可取两种形式。见P194（4）、G(S)H(S)曲线的绘制已知S平面闭合曲线Γ关于实轴对称，故闭合曲线ΓGH也关