概率论与数理统计第21讲

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1、概率论与数理统计第21讲本讲义可在网址http://math.shekou.com下载1§6.3置信区间2点估计仅仅是未知参数的一个近似值,它没有给出这个近似值的误差范围.若能给出一个估计区间,让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信未知参数的真值被含在这个区间内,这样的估计显然更有实用价值.本节将引入的另一类估计即为区间估计,在区间估计理论中,被广泛接受的一种观点是置信区间,它是奈曼(Neymann)于1934年提出的.3一,置信区间的概念定义1设q为总体分布的未知参数,X1,X2,…,Xn是取知总体X的一个样本,对给定的数1-a(0

2、存在统计量q=q(X1,X2,…,Xn),q=q(X1,X2,…,Xn).使得P{q

3、,区间的长度意味着误差,故区间估计与点估计是互补的两种参数估计5③置信度与估计精度是一对矛盾.置信度1-a越大,置信区间(q,q)包含q的概率就越大,但区间(q,q)的长度就越大,对未知参数q的估计精度就越差.反之,对参数q的估计精度越高,置信区间(q,q)长度就越小,(q,q)包含q的真值的概率就越低,置信度1-a越小.一般准则是:在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.67式子中的事件8由得我们得到了m的一个置信水平为1-a的置信区间9这样的置信区间常写成如果取a=0.05,即1-a=0.95,又若s=1,n=16,查表得ua/2=u0.025=

4、1.96.于是我们得到一个置信水平为0.95的置信区间10再者,若由一个样本值算得样本均值的观察值x=5.20,则我们得到一个置信水平为0.95的置信区间(5.200.49),即(4.71,5.69)注意,这已经不是随机区间了.但我们仍称它为置信水平为0.95的置信区间,是指的这个区间包含m的可信程度为95%.11例2设总体X~N(m,8),m为未知参数,X1,…,X36是取自总体X的简单随机样本,如果以区间(X-1,X+1)作为m的置信区间,那么置信度是多少?解12二,寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想:在点估计的基础上,构造合适的含样本及待

5、估参数的函数U,且已知U的分布.再针对给定的置信度导出置信区间.1314(4)对不等式l1Ul2作恒等变形后化为P{qqq}=1-a,(3.5)则(q,q)就是q的置信度为1-a的双侧置信区间.15三,(0-1)分布参数的置信区间考虑(0-1)分布情形,设其总体X的分布率为P{X=1}=p,P{X=0}=1-p,(0

6、1-p)/n)16X~N(p,p(1-p)/n)给定置信度1-a,则有经不等式变形得P{ap2+bp+c<0}1-a,其中17经不等式变形得P{ap2+bp+c<0}1-a,其中解式中不等式得P{p1

7、19例如,对产品设备,电子元件等来说,我们关心的是平均寿命的置信下限,而在讨论产品的废品率时,我们感兴趣的是其置信上限.于是我们引入单侧置信区间.20定义2设q为总体分布的未知参数,X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,对给定的数1-a(0

8、22例5从一批灯泡中随机地抽取5只作寿命试验,其寿命