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1、抛物线及其标准方程一、教学目标1.知识目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2.能力目标使学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．3.德育目标通过一个简单实验引入抛物线的定义，对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．根据圆锥曲线的统一定义,对学生进行运动、变化、对立、统一的辨证唯物主义思想教育.4.情感目标通过椭圆、双曲线、抛物线的定义的统一性感受数学的统一美,通过推导出的抛物线的标准方程感受数学的简洁美.二、教材分析1．重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义
2、；通过一些例题加深对标准方程的认识)2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：按常规选择过定点且与直线l垂直的直线为x轴,类比二次函数y=ax建立直角坐标系)3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制;对抛物线参数p的理解.(解决办法：向学生加以说明;由标准方程的导出可知p的几何意义是焦点到准线的距离)三．教具三角板、小黑板、多媒体四.教学过程1.导出课题我们已学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线．今天我们将学习第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在生活中,抛物线应用很广
3、泛;在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象.问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？有一条对称轴.同学们对抛物线的形状已经有了一定的认识,但是同学们不知道抛物线是满足什么几何条件的点的轨迹,今天我们就来研究这个问题.2.抛物线的定义(1)．回顾5平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？FlCPA图1B(2)．简单实验如图1，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截
4、取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．在观看多媒体上的演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．(3)．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：yxKFlM图20平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．3.抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样建立直角坐标系，才能使所得
5、的方程是较简单的形式呢？按常规取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，怎样确定y轴呢?结合y=ax的图象,若x轴与直线l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2)．设
6、KF
7、=p(p>0),则焦点F的坐标是(,0),准线l方程是x=-,设抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M
8、
9、MF
10、=d}．
11、MF
12、=,d=
13、x+
14、,=
15、x+
16、.两边平方得:x-px++y=x+px+.化简后得：y=2px(p＞0)．方程y=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p是正常数,它的几何意义是:焦点到准线的距离.这个方程表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是(,0)
17、,它的准线方程是x=-.5一条抛物线,由于它在坐标平面的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其它形式,见下表:图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px（p＞0）（，0）x＝y2＝－2px（p＞0）（，0）x＝x2＝2py（p＞0）（0，）y＝x2＝－2py（p＞0）（0，）y＝如何将标准方程与图形对应起来呢?第一:一次项的变量是x(或y),则x轴(y轴)为抛物线的对称轴.第二:一次项的系数的符号决定了开口方向.系数大于0开口与坐标轴正方向一致,焦点在正半轴上;系数小于0开口与坐标轴方向相反,焦点在负半轴上.第三:二次项系数为1.4.标准方程的应用例1（1）已知抛物线的标准方程是=
18、6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0,-2），求它的标准方程.解:(1)焦点坐标是(,0),准线方程是x=-;(2)抛物线的标准方程是=-8y.5例2求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.解：1)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，设抛物线的标准方程为x=2py,把A（-3，2）代入x=2py，得p=.∴抛物线的标准方程为x=y.2)当焦点在x轴的负半轴上时，设抛物线的标准方程为y=-2px
