抛物线及其标准方程

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1、学科：数学教学内容：抛物线及其标准方程【基础知识精讲】1.定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.F是焦点，l为准线.圆锥曲线可统一定义为：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时，表示椭圆；当e＞1时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线.2.标准方程和图形、焦点坐标及准线方程焦点的位置图形方程焦点准线焦点在x正半轴y2=2px(p＞0)(,0)x=-焦点在x负半轴y2=-2px(p＞0)(-,0)x=焦点在y正半轴x2=2py(p＞0)(0,)

2、y=-焦点在y负半轴x2=-2py(p＞0)(0,-)y=注：抛物线的标准方程中一次项变量及它的系数的符号决定抛物线的开口方向，其焦点的非零坐标为一次项变量的系数的.3.抛物线的焦半径抛物线y2=2px（p>0）上任一点M(x0，y0)到焦点的距离等于到准线的距离且为x0+.其它三种不同形式同学们自己给出.本节学习要求：学习抛物线及其标准方程，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点.主要方法有轨迹法、定义法、待定系数法等.本节内容也充满运动变化的思想.学习本节内

3、容要注意如何利用运动变化的观点思考问题，如何利用数学研究运动变化着现实世界，以提高分析问题和解决问题的能力.【重点难点解析】1.学习抛物线及其标准方程可以像学习椭圆、双曲线一样从画图开始，也可以直接从第8.2节例4及第8.4节例3引入，这样定义抛物线，便于导出它的标准方程，也可以一开始就看到抛物线和椭圆、双曲线之间的联系.2.本节重点是抛物线的定义及有关概念、抛物线的四种位置、四种标准方程、焦点坐标、准线方程.难点是分清标准方程的四种不同形式及抛物线的应用.例1在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等

4、于9的点的坐标.分析由方程y2=12x得F(3，0)，准线l:x=-3，设所求点为P(x,y),则由定义知｜PF｜=x+3又｜PF｜=9∴x+3=9x=6代入y2=12x得y=±6故所求点为(6，6)，(6，-6)例2已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：分析(1)设抛物线方程为y2=2ax(a≠0),将y=2x+1代入抛物线方程y2=2ax得4x2+(4-2a)x+1=0设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2)则｜AB｜===解得a=6或-2.

5、(2)设抛物线方程为x2=2my(m≠0)同理求得：m=或m=-综上所述，所求抛物线方程为y2=12x,y2=-4x,x2=y,x2=-y.【难题巧解点拨】例1如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?分析设交点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点M(x0,y0),把y2=px代入圆方程(x-2)2+y2=3得x2+(p-4)x+1=0∴x1+x2=4-p,x1x2=1∴x0==∵A、B在x轴上

6、方∴y1+y2====∴y1+y2=,从而y0==∵点M在直线y=x上∴y0=x0∴=即p2-7p+8=0解得：p=∵4-p＞0∴p=不合题意∴p=例2过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.分析AC、BD是焦点弦，又AC⊥BD，故四边形面积S=｜AC｜·｜BD｜.设AC所在的直线方程为y=k(x-),代入抛物线方程得：4k2x2-4p(k2+2)x+p2k2=0且设A(x1,y1),C(x2,y2)∴｜AC｜=x1+x2+p=设BD所在直线

7、方程为y=-(x-),且设B(x3,y3),D(x4,y4),由消去y得4(-)2x2-4p［(-)2+2］x+p2(-)2=0，则｜BD｜=x3+x4+p=2p(k2+1).∴四边形的面积S=｜AC｜·｜BD｜==2p2(2+k2+)≥2p2(2+2)=8p2.当且仅当k2=即｜k｜=1，四边形的面积最小，最小值为8p2.【典型热点考题】例1直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3

8、，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.分析建立如图所示直角坐标系，由题意可知曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段因此可用待定系数法及它的方程为y2=2px(p＞0,待定)(xA≤x≤xB,y＞0)其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p=｜MN｜.所以M、N的坐标为M(-,0)，N(，0)，由点A在曲线C上，

9、AM

10、=,

11、AN

12、=3，得解得或因为△AMN是锐角三角形，∴xA＜∴由点B在曲线段C上，得xB=｜BN｜-=4.所以所求的曲