【推荐】试题君之每日一题君2017年高考理数（12月10日数学归纳法）word版含解析

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1、12月10日数学归纳法高考频度：★★★★☆难易程度：★★★★☆1典例在线设是等比数列，，X2,…，Z的各项和，其中x〉0,neN,n>2.（1）证明：函数=-2在（j，l）内有且仅有一个零点（记为x,,），且X-1+1产1（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为人（X），比较人U）和見,00的大小，并加以证明.【参考答案】（1）见解析；（2）见解析.【试题解析】（1）O）=A（x）—2=1+x+x2+...+X"-2,11111-（去）’+11则/;⑴：，卜1〉0,^（2）=1+2+（2）2+，，*+（2），，_2=1-一2=—F<0，1_2所以K（x）在（

2、j，l）内至少存在一个零点.又F；（x）=1+2x+…+nxn~｛〉0，故O）在（丄，1）内单调递增，所以FJx）在（丄，1）内有且仅有一个零点x,,.1-r,?+111因为X,,是FJx）的零点，所以巧（夂）=0,即丁一^—一2=0,故=;+7<+1.1—X,22(2)由题设，乂=1+x+X24Hxn,SnMx〉0•当又=1时，AW=g/JW.当X类1时,用数学归纳法可以证明人（％）<么（X）.①当"=2时，/2（x）—g2（x）=—y（l—X）2<0，所以/2（x）

3、4-1)A^4-^+1kxk+[—(Z：4-1)A*A4-1又尺A+1(又)-=-—，々hk(x)=kxk+]—(k+l)x^+1,x〉0,则VU)=k(k+)xk-k(k+ljx^1=k(k+l)x^(x-l).所以当0<%<1时，///(%)<0,么(>)在(0,1)上单调递减;当x〉l时，hkx)>0,~(x)在(1，+oo)上单调递增.从而心+i(又)〉2xa'+1+(々+1)xa~+々+12故人H(X)<^t+i(X),即”=众+1时不等式也成立.由①和②知，对一切n乏2的整数,都有乂(x)

4、提示】(1)归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳,然后猜想出结论，再用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写.(2)①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；②％是命题成立的第一个正整数，并不一•定所有的第一个允许值％都是1，同时应注意：数学归纳法的两个步骤缺一不可，第二步证明的关键是要运用归纳假设，要弄淸由沒=々到«=6+1时命题变化的惜况.学霸推荐1.在用数学归纳法证明/00二丄+1+...+」-<1(^^，/7》3)的过程中：假没当n

5、n+12nn=k(keN*,k>3)9不等式/(幻<1成立，则需证当m=A+1时，/M+1)<1也成立•若f(k+i)=f(k)+g(k),RiJg(k)=A.C.」丄2)t+2_I2.己知数列是等差数列，且%B.12k+12k+2k11D.2k+22k屮是(i+

6、%r展开式的前三项的系数(1)求(1+jx广展开式的中间项;+—a>/广与去的大小.111(2)当/z22时，试比较一+++“n〜i参考答嚓1.B【解析】依题意得/M+l)=所以g(幻=1112k+l2k+21众+1丄k1++女+2故选B.2(々+1)•+去2.【解析】⑴(1+1xYl=1+C；z,(Ix)+C,2nx)2+•••,

7、…v1lm(m-l)依题意4=1，a2=~m，ai=——-——；由2“2=6/,+1/3nj•得m=1(舍去)或w=8;113S所以(l+;;c)"f展开式的屮间项为第五项，T5=Ct(-xY=—x22o(2)由(1)知，=3n—2，111当"=2吋’1111111691H=11=—I1=>—a,a，a,a447101403'广xj**当h=3时，11=—+——a3a41111111——d11ddd710131619222511、z111、1,111、，111、=h(11)+(11)〉h(11)+(11)710131619222581616163232321331311=一+—+—〉一+—+

8、—〉一,8163281616311111猜测:当以时’以下用数学归纳法加以证明:①77=3时，结论成立，111©设当时’-+—+—+11+——>-111111+...H〜雌1^（A+l）+2a（M）2丄+丄+丄+丄+...+丄）+（丄十丄+…十-akak+a（k+）+“（*+1）+2aic^ak2+2CJ1_U+1）2A1,11>h（1h…+3a,far2、人2+lV+22々+l3⑽2A3