实数域的非标准构造与超实数域

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1、实数域的非标准构造与超实数域本章主要把实数集进行了扩充并建立了一个非标准分析模型，它包括无穷小量，无穷大量以及普通实数，构造出了超实数集*/?.并对超实数域，非标准分析和转换原理在数学分析领域进行了证明及应用.-.本章首先把非标准分析从自然数系yv，应用到有序域.1.给出了有序域的的定义和相关性质，即满足交换律，结合律，存夜零元，负元，蕴含等性质，且满足有序域D上的运算+，•，满足关系〈.2.定义了阿基米德有序域D，给出了其性质稠密性及其证明，并用反证法证明完备的有序域是阿基米德的(例如有理数域是阿基米德有序域)，相反的有非阿基米德域.定义：F={xeD/

2、

3、x

4、＜n对于某个HG/V}.若托F，则％叫做有限的.^xeD-F9贝Ux叫做无限的.定义：I={xeD/x=0或(l/x)eD-F}./的元素叫做无限小.称/?的元素为实数或标准实数，4-/?的元素是超实数，按无限小的定义，在实数中只有0是无限小数，而其它无限小数都是超实数，这些数比0大，比任何实数都小.3.定义：如果•¥，＞，€£＞且/，记为＞，.我们说x无限接近;＞，，简称;r接近也是有限集F上的一个等价关系.1.构造商环F//,存在一个F到F//上的自然同态，以/为核.有F7/也是一个右序域，且是阿基米德的.二.在阿基米德有序域D的基础上，根据转换原理

5、，得7）是一个有序域，并且有＞^/），但是一个非阿基米德有序域.把D上的运算扩张到上，有。是把D映入F//中的一个同构，即把D嵌入F//中.同时应用DEDEKIND定理可以证明F//是一个完备的有序域.其中定理2.6的证明用转换原理，以中的一个“无限小”，逼近来代替f/中的一个“任意好”的逼近.如下：定理2.6:对于每一个存在一个使得证明：巾于e在d中的稠密性，对于每一;有（VneAT）（彐分e2）（

6、x-《

7、＜乂）.由转换原理：有（Vne：W+）（36/g*®（

8、x-^

9、＜^/）.令zieW-7V，则Y中，存在一个”'2,使得

10、x-g

11、＜X，即x~q三

12、.我们把有理数域e用表示，d是同构的嵌入到商环f//二/?中，通过DEDEKIND分割Cauchy序列，利用转换原理构造出一个有序域，在同构意义下存在唯一完备的有序域/?，即实数系/?，从而扩张构造出非阿基米德有序域*/?，即超实数域.其中F是＞的有限元之集，/是＞的无限小元之集.从而在非标准全域中，我们存非阿基米德域＞，并且存在一个由*/?的有限元的环到中的同态映射，称的元素为实数或标准实数，的元素是非标准实数，乂中元素是超实数.一方面每个超实数是一个确定的等价类，它在超实数轴上有固定的位置；另一方面每个等价类又是一些变化着的无穷序列，有限超实数无限接近他

13、的标准部分，无限超实数无限接近一个“理想的无穷远点”.因此超实数既是一个确定的数，又是一个变化着的函数.也就是说，有限超实数就是一些极限为实数的变量，无限超实数是一些无穷大量，超实数域就是这些变量的集合，这些变量的极限是实数或无穷大.同时本章还给出了超实数域上的运算法则，性质和定理.提出了＞上一个重要的等价关系&，即定理4.5对于每个实数x，存在一个心，使得二.对超实数及非标准方法在实分析中的应用其实就是主要应用和转换原理，例如1.己知Y=是大于零的超实数集，同理，设队/neAT｝为2.命题一实数序列，即S把AT映入/?，那么把*^+(*N+=*2V-｛0｝

14、)映入*R•(Vx,y€/?)(zgR)(x+y=z)在标准模型中成立，故其相应的命题在非标准模型中也成立，(Vx,yg*/?)(zgRx+y=z)•应用1.定理5.3:x为｛Sn/mAT｝的极限点，当且仅当对于某个无限整数n,有应用2.应用连续的非标准特征给出经典定理5.5的非标准证明.定理5.5:设/是k,/?］上的连续实值函数.若/⑻＜0＜/0),则存二.这一章在一族以、+为指标集的超实数上给出了无限小延拓定理和其证明过程与应用.应用1.连续函数的一致收敛序列有连续的极限这一事实的非标准证明.定理6.3:在［^］上Sw(x)—致收敛于沁)，当且仅当对

15、于xe»］且vg^N-N9有久(又)义5(；0.关于一致连续性，在从“按点”过渡到“一致”的时候，非标准条件的形式是在以上代替了在［6W］.应用2.柯西收敛准则的非标准形式.定理6.5:设队/mAT｝为一实数序列，又设对于一切n，m^N-N，有=之，则有某一实数L，使得三.微分学同样可以扩张到超实数域＞上，称为非标准微分学.非标准微分学不仅仅满足标准微分学的所有性质，即原实数域7?上的一切关系可以自然的扩张到非标准模型4上，并且满足链锁规则(即々⑺=/(＜?()0)，这里《?在〜处是可微的，并且/在gU。)处是可微的.那么在^)处也是可微的，而且淡=f(g

16、(xoy)dg•四.非标准方法关于可加性的应用应用1